Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a proposição
e queremos verificar se ela é verdadeira para todos os números inteiros. Isso envolve entender quantificadores na lógica matemática, especificamente o quantificador universal
, que significa “para todo”. Para resolver isso, vamos precisar analisar a equação quadrática e ver para quais valores inteiros de
ela é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, independentemente do valor inteiro que escolhamos para
, a equação
sempre será verdadeira. Então, precisamos verificar se essa equação realmente vale para todos os inteiros.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
que a satisfazem. Para resolver quadráticas, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Observamos que as soluções para
são
e
. Contudo, estamos considerando apenas números inteiros. O valor
não é um número inteiro, então a única solução inteira é
.
Passo 5
Como a equação
é verdadeira somente para
dentro dos números inteiros, isso significa que a proposição
não é verdadeira para todos os inteiros, mas apenas para
.
Resposta
A proposição
é falsa no universo dos números inteiros.
Exercícios relacionados
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: ©
.
Nas proposições abaixo, verifique através da tabela-verdade se é uma tautologia ou uma contradição ou uma contingência: (b)
.
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros: ©
.
VIII)