Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição no universo dos números inteiros.
(a)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a proposição e queremos verificar se ela é verdadeira para todos os números inteiros. Isso envolve entender quantificadores na lógica matemática, especificamente o quantificador universal , que significa “para todo”. Para resolver isso, vamos precisar analisar a equação quadrática e ver para quais valores inteiros de ela é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, independentemente do valor inteiro que escolhamos para , a equação sempre será verdadeira. Então, precisamos verificar se essa equação realmente vale para todos os inteiros.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de que a satisfazem. Para resolver quadráticas, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores na fórmula:
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Observamos que as soluções para são e . Contudo, estamos considerando apenas números inteiros. O valor não é um número inteiro, então a única solução inteira é .

Passo 5

Como a equação é verdadeira somente para dentro dos números inteiros, isso significa que a proposição não é verdadeira para todos os inteiros, mas apenas para .

Resposta

A proposição é falsa no universo dos números inteiros.

Exercícios relacionados

Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: © .
Nas proposições abaixo, verifique através da tabela-verdade se é uma tautologia ou uma contradição ou uma contingência: (b) .
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição no universo dos números inteiros: © .
VIII)