Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição no universo dos números inteiros: © .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a proposição e precisamos verificar se existe pelo menos um número inteiro que satisfaz essa equação. O conteúdo que vamos usar aqui envolve quantificadores existenciais e resolução de equações quadráticas. Para resolver isso, vamos primeiro entender o que significa o quantificador existencial e depois resolver a equação para encontrar possíveis valores inteiros de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um quantificador existencial. O símbolo significa “existe” ou “há pelo menos um”. Então, está perguntando: “Existe pelo menos um inteiro que torna verdadeira?”, ou seja, que satisfaz a equação .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Para resolver uma equação quadrática, podemos tentar fatorá-la. Vamos ver se conseguimos escrever essa equação como um produto de dois binômios.

Passo 4

Vamos tentar fatorar . Procuramos dois números que multiplicados dão (o produto de na forma ) e que somados dão (o coeficiente de ).
Os números que satisfazem essas condições são e , porque e .

Passo 5

Usando esses números, podemos reescrever a equação:
Agora, agrupamos os termos:
Fatorando cada grupo:
Agora, colocamos em evidência:

Passo 6

Agora, temos a equação fatorada . Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, resolvemos cada fator separadamente:

Passo 7

Agora, verificamos quais dessas soluções são números inteiros:
  • não é inteiro.
  • é inteiro.

Resposta

Sim, existe pelo menos um número inteiro que satisfaz a proposição . Portanto, o quantificador é verdadeiro no universo dos números inteiros.

Exercícios relacionados

Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição no universo dos números inteiros.
(a)
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: © .
VIII)
Responda os itens a seguir
(a) Sendo , determine o valor lógico de .