Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros: ©
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a proposição
e precisamos verificar se existe pelo menos um número inteiro
que satisfaz essa equação. O conteúdo que vamos usar aqui envolve quantificadores existenciais e resolução de equações quadráticas. Para resolver isso, vamos primeiro entender o que significa o quantificador existencial e depois resolver a equação para encontrar possíveis valores inteiros de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um quantificador existencial. O símbolo
significa “existe” ou “há pelo menos um”. Então,
está perguntando: “Existe pelo menos um inteiro
que torna
verdadeira?”, ou seja, que satisfaz a equação
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Para resolver uma equação quadrática, podemos tentar fatorá-la. Vamos ver se conseguimos escrever essa equação como um produto de dois binômios.
Passo 4
Vamos tentar fatorar
. Procuramos dois números que multiplicados dão
(o produto de
na forma
) e que somados dão
(o coeficiente de
).
Os números que satisfazem essas condições são
e
, porque
e
.
Passo 5
Usando esses números, podemos reescrever a equação:
Agora, agrupamos os termos:
Fatorando cada grupo:
Agora, colocamos
em evidência:
Passo 6
Agora, temos a equação fatorada
. Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, resolvemos cada fator separadamente:
-
⇒ ⇒ -
⇒
Passo 7
Agora, verificamos quais dessas soluções são números inteiros:
-
não é inteiro. -
é inteiro.
Resposta
Sim, existe pelo menos um número inteiro
que satisfaz a proposição
. Portanto, o quantificador
é verdadeiro no universo dos números inteiros.
Exercícios relacionados
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros.
(a)
(a)
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: ©
.
VIII)
Responda os itens a seguir
(a) Sendo , determine o valor lógico de
.
(a) Sendo