Verifique que os vetores u=(1,-1,2), v=(-2,3,1) e w=(-1,3,8) são coplanares, i.e., são linearmente dependentes (LD).

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos verificar se os vetores , e são coplanares, ou seja, se são linearmente dependentes. Para isso, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz cujas colunas sejam os vetores 1 & -2 & -1 -1 & 3 & 3 2 & 1 & 8 , e :
A ideia é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, coplanares.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz:
1 & -2 & -1 -1 & 3 & 3 2 & 1 & 8
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, vamos calcular o determinante.

Passo 4

Calculando passo a passo:
1 times 3 times 8 = 24
-2 times 3 times 2 = -12
-1 times -1 times 1 = 1
Somando esses valores: -1 times 3 times 2 = -6
Agora, calculamos as diagonais secundárias:
3 times 1 times -1 = -3
8 times -2 times -1 = 16
Somando esses valores:
Subtraindo o segundo total do primeiro:

Resposta

Como o determinante é diferente de zero ( ), os vetores , e não são coplanares e, portanto, não são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Verifique que os vetores u=(1,1) e v=(1,2) não são colineares, i.e., são linearmente independentes (LD).
Sendo u=(1,-1,3), v=(2,1,3) e w=(-1,-1,4), encontre as coordenadas e a norma dos seguintes vetores:
u+v
Considerando os vetores no espaço vetorial R^3 ; u=(1,2,3); v=(4,5,6) e w=(6,7,8), mostre os axiomas:
A1) A adição è associativa.
(u+v)+w=u+(v+w)
Considerando os vetores no espaço vetorial R^3 ; u=(1,2,3); v=(4,5,6) e w=(6,7,8), mostre os axiomas:
A2) A adição ė comutativa.
u+v=v+u