Verifique que
(a) y_p1 = 3 * e^(2 * x) é solução particular de y'' - 6y' + 5y = -9e^(2x).
(b) y_p2 = x^2 + 3 x é solução particular de y'' - 6y' + 5y = 5x^2 + 3x - 16.

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte (a). O enunciado nos dá uma equação diferencial:
E diz que uma possível solução particular é . Nosso objetivo aqui é verificar se, de fato, y_p1 satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas de y_p1, substituir na equação e ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas de .
A primeira derivada:
A segunda derivada:

Passo 3

Agora, substituímos y_p1, e na equação diferencial:
Vamos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). A equação diferencial é:
E a solução particular proposta é . Queremos verificar se essa função satisfaz a equação. Assim como na parte (a), vamos calcular as derivadas de y_{p_{2}}, substituir na equação e conferir se a igualdade se mantém.

Passo 5

Primeiro, calculamos as derivadas de .
A primeira derivada:
A segunda derivada:

Passo 6

Agora, substituímos y_{p_{2}}, e na equação diferencial:
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Multiplicando os termos:
  1. Agrupando semelhantes:

Resposta

O lado esquerdo da equação resultou em , que é exatamente igual ao lado direito. Portanto, é de fato uma solução particular da equação diferencial dada.

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