O vetor força resultante aplicado a una estrutura é descrito pela expressâo FR=3 F1-2 F2+F3, sendo F1=(5,-10,5) N, F2=(-6,6,0) N e F3=(7,7,0) N. As forças são dadas em Newtons.
Com base nas informaçōes do enunciado, avalie as afirmaçōes a seguir:
II. O ângulo entre os vetores F1 e F2 é de 150 graus.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre forças aplicadas a uma estrutura e nos dá três vetores de força: F1, F2 e F3. Nosso objetivo aqui é verificar se a afirmação II está correta, ou seja, se o ângulo entre F1 e F2 é realmente 150 graus. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, especificamente o produto escalar e como calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os vetores que estamos lidando:
  • F1 = (5, -10, 5), N
  • F2 = (-6, 6, 0), N

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
F1 cdot F2 = |F1| cdot |F2| cdot cos(theta)
Onde:
  • F1 cdot F2 é o produto escalar dos vetores.
  • |F1| e |F2| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre F1 e F2:
F1 cdot F2 = (5)(-6) + (-10)(6) + (5)(0) = -30 -60 + 0 = -90

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|F1| = raiz5^2 + (-10)^2 + 5^2 = raiz25 + 100 + 25 = raiz150 approx 12,247, N
|F2| = raiz(-6)^2 + 6^2 + 0^2 = raiz36 + 36 + 0 = raiz72 approx 8,485, N

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo:
-90 = 12,247 cdot 8,485 cdot cos(theta)
cos(theta) = -9012,247 times 8,485 approx -90104 approx -0,865

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(-0,865) approx 150^circ

Resposta

A afirmação II é verdadeira: o ângulo entre os vetores F1 e F2 é de aproximadamente 150 graus.

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