O vetor posição de èuma partícula de massa 2 kg em relação a um observador inercial fixo num ponto O é dado por r=2 t^2 i+t j+t^4 k, onde todas as unidades são do SI.
Qual o torque desta força em relação a O ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de 2 kg cuja posição em relação a um ponto fixo $ O $ é dada pela função vetorial O . A gente precisa descobrir o torque dessa força em relação ao ponto $ O $. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre vetores posição, derivadas para achar a aceleração, a segunda lei de Newton para encontrar a força, e finalmente, o cálculo de torque usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando cada componente de r:
v = drdt = ddt(2 t^2) i + ddt(t) j + ddt(t^4) k = 4 t i + 1 j + 4 t^3 k

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt = ddt(4 t) i + ddt(1) j + ddt(4 t^3) k = 4 i + 0 j + 12 t^2 k

Passo 4

Com a aceleração conhecida, podemos usar a segunda lei de Newton para encontrar a força que atua na partícula:
F = m a = 2 , kg times (4 i + 0 j + 12 t^2 k) = 8 i + 0 j + 24 t^2 k , N

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o torque em relação ao ponto $ O $. O torque é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição O e a força r:
F
Vamos calcular isso:
tau = r times F
Simplificando:
tau = i & j & k 2 t^2 & t & t^4 8 & 0 & 24 t^2 = i (t times 24 t^2 - t^4 times 0) - j (2 t^2 times 24 t^2 - t^4 times 8) + k (2 t^2 times 0 - t times 8)

Resposta

O torque em relação a $ O $ é dado por:
O

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