O vetor posição de uma partícula é dado por r(t)=2,0 t^3 i+t^2 j, no S.I. e é válido para t >= 0. A partícula tem 200 g de massa. Determine os seguintes vetores em t=1,0 s : (a) momento linear;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente achar o momento linear de uma partícula no tempo $ t = 1,0 $ s. Estamos lidando com cinemática vetorial aqui, especificamente com vetores de posição e velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de momento linear e calcular a velocidade da partícula a partir do vetor posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento linear ($ \vec{p} $) de uma partícula é dado por:
p
onde:
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula.

Passo 3

A massa da partícula é dada como 200 g. Vamos converter isso para quilogramas, já que o Sistema Internacional usa o quilograma como unidade padrão de massa:
200, g = 0,200, kg

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a velocidade $ \vec{v}(t) $ da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição $ \vec{r}(t) $ em relação ao tempo:
v(t)
Dado que:
r(t)
Tomamos a derivada de cada componente:
v(t) = dr(t)dt
r(t) = 2,0, t^3 i + t^2 j
Então,
ddt (2,0, t^3) = 6,0, t^2

Passo 5

Agora, vamos avaliar a velocidade no instante $ t = 1{,}0 $ s:
t = 1,0

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula do momento linear usando a massa e a velocidade que encontramos:
p = m cdot v = 0,200, kg cdot (6,0, i + 2, j), m/s
Multiplicando a massa pela velocidade em cada componente:
p = (0,200 times 6,0), i + (0,200 times 2), j = 1,2, i + 0,4, j, kg·m/s

Resposta

O momento linear da partícula em $ t = 1{,}0 $ s é:
t = 1,0

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