O vetor posição de uma partícula é dado por
, no S.I. e é válido para
. A partícula tem 200 g de massa. Determine os seguintes vetores em
: (a) momento linear;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente achar o momento linear de uma partícula no tempo $ t = 1,0 $ s. Estamos lidando com cinemática vetorial aqui, especificamente com vetores de posição e velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de momento linear e calcular a velocidade da partícula a partir do vetor posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento linear ($ \vec{p} $) de uma partícula é dado por:
onde:
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula.
Passo 3
A massa da partícula é dada como 200 g. Vamos converter isso para quilogramas, já que o Sistema Internacional usa o quilograma como unidade padrão de massa:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a velocidade $ \vec{v}(t) $ da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição $ \vec{r}(t) $ em relação ao tempo:
Dado que:
Tomamos a derivada de cada componente:
Então,
Passo 5
Agora, vamos avaliar a velocidade no instante $ t = 1{,}0 $ s:
Passo 6
Finalmente, aplicamos a fórmula do momento linear usando a massa e a velocidade que encontramos:
Multiplicando a massa pela velocidade em cada componente:
Resposta
O momento linear da partícula em $ t = 1{,}0 $ s é: