O vetor r r^prime=Rn(phi) r=r+sin phi n times r+(1-cos phi)[n(r cdot n)-r](10.3)
Verifique que esta fórmula confirma os resultados Rx(pi / 2) k=-j, Ry(pi / 2) k=i, y(pi / 2) j=j e Rx(pi / 2) i=i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma fórmula para rotacionar um vetor usando matrizes de rotação. A matéria aqui é Rotação de Vetores em Espaço 3D, e para resolver, vamos precisar entender como essa fórmula funciona e aplicá-la para verificar se ela confirma alguns resultados específicos de rotação em torno dos eixos e .

Passo 2

Primeiramente, vamos entender a fórmula que temos:
r' = Rn(phi) r = r + sin phi , n times r + (1 - cos phi)[n(r cdot n) - r]
Aqui:
  • é o vetor original que queremos rotacionar.
  • é o vetor resultante após a rotação.
  • é a matriz de rotação em torno do eixo por um ângulo .
  • é um vetor unitário que indica o eixo de rotação.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 3

Agora, vamos entender cada parte da fórmula:
  1. : O vetor original.
  2. : Essa parte adiciona uma componente perpendicular ao vetor original, relacionada à rotação.
  3. : Essa parte ajusta o comprimento do vetor na direção do eixo de rotação.

Passo 4

Para verificar os resultados dados, vamos considerar rotações de ou radianos ( ) em torno dos eixos e . Vamos testar cada caso:
Vamos verificar cada um desses usando a fórmula.

Passo 5

Caso 1: r' = k + sin(pi2) i times k + (1 - cos(pi2))[i(k cdot i) - k]

Aqui, o eixo de rotação é r' = k + 1 cdot (i times k) + (1 - 0)[i(0) - k] = k + (i times k) - k , então r' = k - j - k = -j . O vetor a ser rotacionado é .
Aplicando a fórmula:
Sabemos que:
Substituindo:
Sabemos que , então:
Confirmamos que .

Passo 6

Caso 2: r' = k + sin(pi2) j times k + (1 - cos(pi2))[j(k cdot j) - k]

Aqui, o eixo de rotação é r' = k + 1 cdot (j times k) + (1 - 0)[j(0) - k] = k + (j times k) - k , então r' = k + i - k = i . O vetor a ser rotacionado é .
Aplicando a fórmula:
Sabemos que:
Substituindo:
Sabemos que , então:
Confirmamos que .

Passo 7

Caso 3: r' = i + sin(pi2) i times i + (1 - cos(pi2))[i(i cdot i) - i]

Aqui, o eixo de rotação é r' = i + 1 cdot 0 + (1 - 0)[i(1) - i] = i + 0 + (i - i) = i , então . O vetor a ser rotacionado é .
Aplicando a fórmula:
Sabemos que:
  • (produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero)
Substituindo:
Confirmamos que .

Resposta

Verificamos que a fórmula de rotação confirma todos os resultados:

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