O vetor r
Verifique que esta fórmula confirma os resultados
Verifique que esta fórmula confirma os resultados
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma fórmula para rotacionar um vetor usando matrizes de rotação. A matéria aqui é Rotação de Vetores em Espaço 3D, e para resolver, vamos precisar entender como essa fórmula funciona e aplicá-la para verificar se ela confirma alguns resultados específicos de rotação em torno dos eixos
e
.
Passo 2
Primeiramente, vamos entender a fórmula que temos:
Aqui:
-
é o vetor original que queremos rotacionar. -
é o vetor resultante após a rotação. -
é a matriz de rotação em torno do eixo por um ângulo . -
é um vetor unitário que indica o eixo de rotação. -
representa o produto vetorial. -
representa o produto escalar.
Passo 3
Agora, vamos entender cada parte da fórmula:
-
: O vetor original. -
: Essa parte adiciona uma componente perpendicular ao vetor original, relacionada à rotação. -
: Essa parte ajusta o comprimento do vetor na direção do eixo de rotação.
Passo 4
Para verificar os resultados dados, vamos considerar rotações de
ou
radianos (
) em torno dos eixos
e
. Vamos testar cada caso:
Vamos verificar cada um desses usando a fórmula.
Passo 5
Caso 1:
Aqui, o eixo de rotação é
, então
. O vetor a ser rotacionado é
.
Aplicando a fórmula:
Sabemos que:
Substituindo:
Sabemos que
, então:
Confirmamos que
.
Passo 6
Caso 2:
Aqui, o eixo de rotação é
, então
. O vetor a ser rotacionado é
.
Aplicando a fórmula:
Sabemos que:
Substituindo:
Sabemos que
, então:
Confirmamos que
.
Passo 7
Caso 3:
Aqui, o eixo de rotação é
, então
. O vetor a ser rotacionado é
.
Aplicando a fórmula:
Sabemos que:
-
-
-
(produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero) -
Substituindo:
Confirmamos que
.
Resposta
Verificamos que a fórmula de rotação confirma todos os resultados: