O vetor r(t)=(t^3-5 t^2+6 t) imath+(5 t^2-t^3-3) jmath, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante t=2,0 s, determine o vetor velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo, usando vetores. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais especificamente derivadas de vetores para encontrar a velocidade. Para resolver, vamos precisar derivar o vetor posição em relação ao tempo e então avaliar essa derivada no instante segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente do vetor posição separadamente.

Passo 3

A posição da partícula é dada por:
r(t) = (t^3 - 5 t^2 + 6 t) imath + (5 t^2 - t^3 - 3) jmath
Vamos derivar cada componente:
Para a componente ddt(t^3 - 5 t^2 + 6 t) = 3 t^2 - 10 t + 6 :
ddt(5 t^2 - t^3 - 3) = 10 t - 3 t^2
Para a componente :

Passo 4

Agora, temos o vetor velocidade v(t) = (3 t^2 - 10 t + 6) imath + (10 t - 3 t^2) jmath :

Passo 5

Vamos substituir 3 (2)^2 - 10 (2) + 6 = 3 times 4 - 20 + 6 = 12 - 20 + 6 = -2 segundos na expressão de 10 (2) - 3 (2)^2 = 20 - 12 = 8 :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o vetor velocidade no instante v(2,0) = -2, imath + 8, jmath , m/s s é:

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