O vetor
, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante
, determine o módulo da aceleração centrípeta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo através do vetor
. A gente precisa encontrar o módulo da aceleração centrípeta quando
segundos. Isso envolve conceitos de movimento vetorial, derivadas para obter velocidade e aceleração, e por fim, calcular a aceleração centrípeta usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade vetorial
, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente de
:
Derivando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração vetorial
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de
:
Passo 4
Vamos calcular
e
no instante
s.
Primeiro, a velocidade:
Agora, a aceleração:
Passo 5
Vamos calcular as magnitudes da velocidade e da aceleração no instante
s.
A magnitude da velocidade
é:
A magnitude da aceleração
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a aceleração centrípeta
. Sabemos que a aceleração total
pode ser decomposta em aceleração tangencial
e aceleração centrípeta
. A fórmula que relaciona essas acelerações é:
Primeiro, precisamos encontrar
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo na direção do movimento.
A aceleração tangencial
é a componente da aceleração na direção da velocidade. Podemos calcular usando o produto escalar:
Calculando:
Então:
Agora, calculando
:
Resposta
O módulo da aceleração centrípeta no instante
s é
.
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O vetor
, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante
, determine o vetor velocidade.
O vetor
, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante
, determine o vetor aceleração.
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O vetor
, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante
, determine o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração.