O vetor , representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante , determine o módulo da aceleração centrípeta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo através do vetor . A gente precisa encontrar o módulo da aceleração centrípeta quando segundos. Isso envolve conceitos de movimento vetorial, derivadas para obter velocidade e aceleração, e por fim, calcular a aceleração centrípeta usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade vetorial , que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente de :
Derivando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração vetorial , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de :

Passo 4

Vamos calcular e no instante s.
Primeiro, a velocidade:
Agora, a aceleração:

Passo 5

Vamos calcular as magnitudes da velocidade e da aceleração no instante s.
A magnitude da velocidade é:
A magnitude da aceleração é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração centrípeta . Sabemos que a aceleração total pode ser decomposta em aceleração tangencial e aceleração centrípeta . A fórmula que relaciona essas acelerações é:
Primeiro, precisamos encontrar , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo na direção do movimento.
A aceleração tangencial é a componente da aceleração na direção da velocidade. Podemos calcular usando o produto escalar:
Calculando:
Então:
Agora, calculando :

Resposta

O módulo da aceleração centrípeta no instante s é .

Exercícios relacionados

O vetor , representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante , determine o vetor velocidade.
O vetor , representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante , determine o vetor aceleração.
Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo, um projétil deslocou-se horizontalmente e verticalmente em relação ao ponto de lançamento. Qual é o deslocamento horizontal em relação ao ponto de lançamento no instante em que o projé
O vetor , representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante , determine o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração.