O vetor r(t)=(t^3-5 t^2+6 t) imath+(5 t^2-t^3-3) jmath, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante t=2,0 s, determine o módulo da aceleração centrípeta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo através do vetor r(t). A gente precisa encontrar o módulo da aceleração centrípeta quando t = 2,0 segundos. Isso envolve conceitos de movimento vetorial, derivadas para obter velocidade e aceleração, e por fim, calcular a aceleração centrípeta usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade vetorial v(t), que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Vamos derivar cada componente de r(t):
r(t) = (t^3 -5 t^2 +6 t) imath + (5 t^2 - t^3 -3) jmath
Derivando:
v(t) = (3t^2 -10t +6) imath + (10t -3t^2) jmath

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração vetorial a(t), que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada componente de v(t):
a(t) = (6t -10) imath + (10 -6t) jmath

Passo 4

Vamos calcular v(t) e a(t) no instante t = 2,0 s.
Primeiro, a velocidade:
v(2) = (3(2)^2 -10(2) +6) imath + (10(2) -3(2)^2) jmath = (12 -20 +6) imath + (20 -12) jmath = (-2) imath + 8 jmath
Agora, a aceleração:
a(2) = (6(2) -10) imath + (10 -6(2)) jmath = (12 -10) imath + (10 -12) jmath = 2 imath -2 jmath

Passo 5

Vamos calcular as magnitudes da velocidade e da aceleração no instante t = 2 s.
A magnitude da velocidade |v| é:
|v(2)| = raiz(-2)^2 + 8^2 = raiz4 + 64 = raiz68 = 2raiz17 , m/s
A magnitude da aceleração |a| é:
|a(2)| = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 , m/s^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração centrípeta ac. Sabemos que a aceleração total a pode ser decomposta em aceleração tangencial at e aceleração centrípeta ac. A fórmula que relaciona essas acelerações é:
ac = raiz|a|^2 - at^2
Primeiro, precisamos encontrar at, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo na direção do movimento.
A aceleração tangencial at é a componente da aceleração na direção da velocidade. Podemos calcular usando o produto escalar:
at = v cdot a|v|
Calculando:
v(2) cdot a(2) = (-2)(2) + (8)(-2) = -4 -16 = -20
Então:
at = -202raiz17 = -10raiz17 , m/s^2
Agora, calculando ac:
ac = raiz|a|^2 - at^2 = raiz(2raiz2)^2 - (-10raiz17)^2 = raiz8 - 10017 = raiz136 - 10017 = raiz3617 = 6raiz17 , m/s^2

Resposta

O módulo da aceleração centrípeta no instante t = 2,0 s é 6raiz17 , m/s^2.

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