Se vetor u = 3i - j - 2k, v = 2i + 4 j - k e w = -i + k, determinar:(uxv).v
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores:
u = 3i - j - 2k
v = 2i + 4j - k
w = -i + k
O que a gente precisa encontrar é o produto escalar de (u × v) com o vetor v. Para isso, vamos usar duas operações vetoriais: o produto vetorial (u × v) e o produto escalar desse resultado com v. Então, bora entender como fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores u e v. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial de u × v é:
Onde:
i, j, k são os vetores unitários nas direções x, y e z.
u_x, u_y, u_z são as componentes do vetor u.
v_x, v_y, v_z são as componentes do vetor v.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula agora com os valores dos vetores u e v:
u times v = i & j & k 3 & -1 & -2 2 & 4 & -1
Calculando o determinante:
Componente i:
(-1)(-1) - (-2)(4) = 1 + 8 = 9
Componente j (lembre-se de mudar o sinal):
- [3(-1) - (-2)(2)] = - [-3 + 4] = -1
Componente k:
3(4) - (-1)(2) = 12 + 2 = 14
Então, o produto vetorial u × v é:
u times v = 9i - j + 14k
Passo 4
Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular o produto escalar desse vetor com o vetor v. O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número e é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados. A fórmula é:
(u times v) cdot v = (ai cdot bi) + (aj cdot bj) + (ak cdot bk)
Onde a e b são os vetores.
Passo 5
Aplicando a fórmula com u × v = 9i - j + 14k e v = 2i + 4j - k:
(u times v) cdot v = (9)(2) + (-1)(4) + (14)(-1) = 18 - 4 - 14 = 0