A vida útil de certa marca de pneus radiais tem uma distribuição normal com média de 38.000 km e desvio padrão de 3.000 Km . Um comerciante encomenda 500 pneus para vendê-los. Qual a quantidade aproximada de pneus que dure entre 40.000 e
ou mais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre a vida útil de pneus radiais que segue uma distribuição normal. A média (μ) é de 38.000 km e o desvio padrão (σ) é de 3.000 km. O comerciante encomendou 500 pneus e quer saber quantos deles duram entre 40.000 km e 45.000 km, além de quantos duram 40.000 km ou mais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal, como o escore z e as tabelas da distribuição normal padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição normal. Ela é uma representação gráfica em forma de sino onde os dados se distribuem de maneira simétrica em torno da média. No nosso caso, a média é 38.000 km. O desvio padrão indica o quanto os valores podem variar em torno dessa média.
Passo 3
Agora, vamos calcular os escores z para os valores de interesse: 40.000 km e 45.000 km. O escore z nos ajuda a entender quantos desvios padrões um valor está afastado da média. A fórmula para calcular o z é:
Onde:
-
é o valor que queremos transformar, -
é a média, -
é o desvio padrão.
Passo 4
Calculando o escore z para 40.000 km:
E para 45.000 km:
Passo 5
Com os valores de z calculados, precisamos encontrar as probabilidades correspondentes utilizando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de estatística.
- Para
, a probabilidade é aproximadamente 0,7475 (ou 74,75%). - Para
, a probabilidade é aproximadamente 0,9901 (ou 99,01%).
Passo 6
Agora, para encontrar a probabilidade de um pneu durar entre 40.000 km e 45.000 km, subtraímos as duas probabilidades:
Isso significa que há aproximadamente 24,26% de chance de um pneu durar entre 40.000 km e 45.000 km.
Passo 7
Para calcular quantos pneus, de um total de 500, caem nessa faixa, multiplicamos a probabilidade pelo número total de pneus:
Arredondando, temos aproximadamente 121 pneus.
Passo 8
Agora, para encontrar quantos pneus duram 40.000 km ou mais, usamos a probabilidade de
. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de
:
Então, há aproximadamente 25,25% de chance de um pneu durar 40.000 km ou mais.
Passo 9
Multiplicando essa probabilidade pelo total de pneus:
Arredondando, temos aproximadamente 126 pneus.
Resposta
Aproximadamente 121 pneus duram entre 40.000 km e 45.000 km, e aproximadamente 126 pneus duram 40.000 km ou mais.