Villate - P8.1: Um protão navegana atmosfera solar, a uma velocidade de 0.15 c, onde c é a velocidade da luz no vazio (2.998 10^8 m / s). O protão atravessa um campo magnético uniforme de 0.12 T , formando um ângulo de 25^circ com a sua velocidade. Calcule o raio do cilindro que envolve a órbita helicoidal do protão (a massa de um protão é 1.67 10^-27 kg e admita que com a velocidade 0.15 c os efeitos relativistas são desprezáveis).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton que está se movendo na atmosfera solar com uma certa velocidade e atravessando um campo magnético. O objetivo é descobrir o raio da trajetória helicoidal que o próton vai seguir. Para isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento de partículas carregadas em campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade do próton. A velocidade dada é 0,15 vezes a velocidade da luz no vácuo. A velocidade da luz $ c $ é $ 2,998 \times 10^8 , \mathrm{m/s} $. Então, calculamos:
c

Passo 3

Agora, vamos decompor a velocidade do próton em duas componentes: uma paralela ao campo magnético e outra perpendicular a ele. O ângulo entre a velocidade e o campo magnético é de $ 25^\circ $, então a componente perpendicular é:
25^circ

Passo 4

A força magnética que atua no próton é responsável por curvar a sua trajetória. A fórmula para essa força é:
F = q times B times vperp
Onde:
  • $ q $ é a carga do próton ($ 1,602 \times 10^{-19} , \mathrm{C} $)
  • $ B $ é o campo magnético ($ 0,12 , \mathrm{T} $)
  • $ v_{\perp} $ é a componente perpendicular da velocidade

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da força:
F = 1,602 times 10^-19 , C times 0,12 , T times 1,895 times 10^7 , m/s approx 3,65 times 10^-12 , N

Passo 6

Sabemos que a força centrípeta que mantém o próton em movimento circular é dada por:
F = m times vperp^2r
Onde:
  • $ m $ é a massa do próton ($ 1,67 \times 10^{-27} , \mathrm{kg} $)
  • $ r $ é o raio da trajetória que queremos encontrar

Passo 7

Igualando as duas expressões para a força:
q times B times vperp = m times vperp^2r
Podemos simplificar cancelando $ v_{\perp} $ de ambos os lados:
vperp

Passo 8

Agora, isolamos $ r $ para encontrar o raio:
r

Passo 9

Substituindo os valores conhecidos:
r = 1,67 times 10^-27 , kg times 1,895 times 10^7 , m/s1,602 times 10^-19 , C times 0,12 , T approx 3,16 times 10^-20 , kg cdot m/s1,9224 times 10^-20 , C cdot T approx 1,646 , m

Resposta

O raio do cilindro da órbita helicoidal do próton é aproximadamente 1,65 metros.

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