Villate - P8.1: Um protão navegana atmosfera solar, a uma velocidade de 0.15 c, onde c é a velocidade da luz no vazio
. O protão atravessa um campo magnético uniforme de 0.12 T , formando um ângulo de
a sua velocidade. Calcule o raio do cilindro que envolve a órbita helicoidal do protão (a massa de um protão é
e admita que com a velocidade 0.15 c os efeitos relativistas são desprezáveis).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton que está se movendo na atmosfera solar com uma certa velocidade e atravessando um campo magnético. O objetivo é descobrir o raio da trajetória helicoidal que o próton vai seguir. Para isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento de partículas carregadas em campos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a velocidade do próton. A velocidade dada é 0,15 vezes a velocidade da luz no vácuo. A velocidade da luz $ c $ é $ 2,998 \times 10^8 , \mathrm{m/s} $. Então, calculamos:
Passo 3
Agora, vamos decompor a velocidade do próton em duas componentes: uma paralela ao campo magnético e outra perpendicular a ele. O ângulo entre a velocidade e o campo magnético é de $ 25^\circ $, então a componente perpendicular é:
Passo 4
A força magnética que atua no próton é responsável por curvar a sua trajetória. A fórmula para essa força é:
Onde:
- $ q $ é a carga do próton ($ 1,602 \times 10^{-19} , \mathrm{C} $)
- $ B $ é o campo magnético ($ 0,12 , \mathrm{T} $)
- $ v_{\perp} $ é a componente perpendicular da velocidade
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da força:
Passo 6
Sabemos que a força centrípeta que mantém o próton em movimento circular é dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa do próton ($ 1,67 \times 10^{-27} , \mathrm{kg} $)
- $ r $ é o raio da trajetória que queremos encontrar
Passo 7
Igualando as duas expressões para a força:
Podemos simplificar cancelando $ v_{\perp} $ de ambos os lados:
Passo 8
Agora, isolamos $ r $ para encontrar o raio:
Passo 9
Substituindo os valores conhecidos:
Resposta
O raio do cilindro da órbita helicoidal do próton é aproximadamente 1,65 metros.