Você estava tentando fazer alguns cálculos para salvar sua família de um eminente perigo e é necessário aproximar o valor de
. Recordando de suas aulas de Calculo Numérico você lembrou que havia aprendido o Método de Newton e teve uma brilhante ideia para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer utilizando este método. Explique como método de newton pode ser utilizado para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer e mostre os cálculos para aproximar
na precisão necessária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente aproximar
com uma precisão de
usando o Método de Newton. Isso envolve cálculo numérico, especificamente o Método de Newton para encontrar raízes de funções. Basicamente, vamos encontrar um valor que, quando elevado ao quadrado, dê próximo de 5.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o problema de encontrar
em encontrar a raiz de uma função. Vamos definir:
Então,
é a raiz positiva dessa função, ou seja, o valor de
que faz
.
Passo 3
Agora, precisamos usar o Método de Newton. A fórmula geral do Método de Newton é:
Aqui,
é a derivada de
. Vamos calcular:
Passo 4
Vamos escolher um chute inicial, ou seja, um valor de
para começar a iteração. Um bom chute seria
, já que
que é próximo de 5.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar
:
Passo 6
Vamos calcular
usando
:
Passo 7
Vamos agora calcular
usando
:
A diferença entre
e
é menor que
, então podemos parar.
Resposta
Aproximando com precisão de
, temos: