Você estava tentando fazer alguns cálculos para salvar sua família de um eminente perigo e é necessário aproximar o valor de raiz5 com epsilon=10^-4. Recordando de suas aulas de Calculo Numérico você lembrou que havia aprendido o Método de Newton e teve uma brilhante ideia para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer utilizando este método. Explique como método de newton pode ser utilizado para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer e mostre os cálculos para aproximar raiz5 na precisão necessária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente aproximar com uma precisão de usando o Método de Newton. Isso envolve cálculo numérico, especificamente o Método de Newton para encontrar raízes de funções. Basicamente, vamos encontrar um valor que, quando elevado ao quadrado, dê próximo de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o problema de encontrar f(x) = x^2 - 5 em encontrar a raiz de uma função. Vamos definir:
Então, é a raiz positiva dessa função, ou seja, o valor de que faz .

Passo 3

Agora, precisamos usar o Método de Newton. A fórmula geral do Método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = 2x é a derivada de . Vamos calcular:

Passo 4

Vamos escolher um chute inicial, ou seja, um valor de para começar a iteração. Um bom chute seria , já que que é próximo de 5.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 2 - 2^2 - 52 times 2 = 2 - 4 - 54 = 2 - (-14) = 2 + 14 = 2.25 :

Passo 6

Vamos calcular x2 = 2.25 - 2.25^2 - 52 times 2.25 = 2.25 - 5.0625 - 54.5 = 2.25 - 0.06254.5 approx 2.25 - 0.0139 approx 2.2361 usando :

Passo 7

Vamos agora calcular x3 = 2.2361 - 2.2361^2 - 52 times 2.2361 approx 2.2361 - 5.0000 - 54.4722 approx 2.2361 - 0 approx 2.2361 usando :
A diferença entre e é menor que , então podemos parar.

Resposta

Aproximando com precisão de raiz5 approx 2.2361 , temos:

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