Você estava tentando fazer alguns cálculos para salvar sua família de um eminente perigo e é necessário aproximar o valor de
. Recordando de suas aulas de Calculo Numérico você lembrou que havia aprendido o Método de Newton e teve uma brilhante ideia para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer utilizando este método. Explique como método de newton pode ser utilizado para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer e mostre os cálculos para aproximar
na precisão necessária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente aproximar
com uma precisão de
usando o Método de Newton. Isso envolve cálculo numérico, especificamente o Método de Newton para encontrar raízes de funções. Basicamente, vamos encontrar um valor que, quando elevado ao quadrado, dê próximo de 5.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o problema de encontrar
em encontrar a raiz de uma função. Vamos definir:
Então,
é a raiz positiva dessa função, ou seja, o valor de
que faz
.
Passo 3
Agora, precisamos usar o Método de Newton. A fórmula geral do Método de Newton é:
Aqui,
é a derivada de
. Vamos calcular:
Passo 4
Vamos escolher um chute inicial, ou seja, um valor de
para começar a iteração. Um bom chute seria
, já que
que é próximo de 5.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar
:
Passo 6
Vamos calcular
usando
:
Passo 7
Vamos agora calcular
usando
:
A diferença entre
e
é menor que
, então podemos parar.
Resposta
Aproximando com precisão de
, temos:
Exercícios relacionados
Use a aproximação por polinômio de Taylor para evitar a perda de dígitos significativos nas seguintes fórmulas quando
está próximo de zero:
Você estava observando o movimento do voo de uma pomba no sitio de um amigo, e anotou o tempo e a altura que a ave estava. Lembrando que a velocidade é
, calcule a velocidade, nos instantes de tempo anotados, da maneira mais precisa possível. Além disso, em quais pontos é possível fazer o cálculo de modo mais preciso e por quê?
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0,0 | 1,001 |
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0,1 | 1,353 |
|
0,2 | 1,821 |
|
0,3 | 2,465 |
|
0,4 | 3,318 |
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Uma das avaliações que você fez para ser selecionado para um programa de trainee, consiste em planejar um sistema de geolocalização e é sugerido o sistema de ponto flutuante
normalizado utilizando arredondamento. Assim, foi solicitado mais detalhes sobre o sistema de ponto flutuante respondendo as seguintes perguntas:
Quantos números são possíveis representar neste sistema de ponto flutuante?
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Uma das avaliações que você fez para ser selecionado para um programa de trainee, consiste em planejar um sistema de geolocalização e é sugerido o sistema de ponto flutuante
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Em uma segunda etapa de testes, ocorreu uma falha em uma das contas realizadas pelo sistema, devido a uma resposta inesperada. As duas últimas contas realizadas antes da falha foram e
, onde
e
qual das contas ocorreu um resultado inesperado e por quê? O que pode ser modificado para resolver o problema deste cálculo?
Em uma segunda etapa de testes, ocorreu uma falha em uma das contas realizadas pelo sistema, devido a uma resposta inesperada. As duas últimas contas realizadas antes da falha foram