Use a aproximação por polinômio de Taylor para evitar a perda de dígitos significativos nas seguintes fórmulas quando x está próximo de zero:
e^x-e^-x2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a aproximação por polinômio de Taylor para calcular a expressão quando está próximo de zero. Isso significa que vamos usar uma série de Taylor para simplificar essa expressão e evitar perder precisão nos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para uma função f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + dots em torno de , a série de Taylor é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às funções e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + dots e e^-x = 1 - x + x^22! - x^33! + dots . Sabemos que:

Passo 4

Subtraindo e^x - e^-x = (1 + x + x^22 + x^36 + dots) - (1 - x + x^22 - x^36 + dots) de e^x - e^-x = 2x + 2x^36 + dots = 2x + x^33 + dots , temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, dividimos tudo por e^x - e^-x2x = 2x + x^33 + dots2x = 1 + x^26 + dots :

Passo 6

Então, a aproximação por polinômio de Taylor para e^x - e^-x2x approx 1 + x^26 perto de é:

Resposta

A aproximação por polinômio de Taylor para e^x - e^-x2x approx 1 + x^26 quando está próximo de zero é:

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