Você estava observando o movimento do voo de uma pomba no sitio de um amigo, e anotou o tempo e a altura que a ave estava. Lembrando que a velocidade é , calcule a velocidade, nos instantes de tempo anotados, da maneira mais precisa possível. Além disso, em quais pontos é possível fazer o cálculo de modo mais preciso e por quê?
0,0 1,001
0,1 1,353
0,2 1,821
0,3 2,465
0,4 3,318

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você observou o voo de uma pomba e anotou a altura dela em diferentes instantes de tempo. O que precisamos calcular aqui é a velocidade da pomba em cada um desses instantes. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que na prática é a taxa de variação da altura em relação ao tempo. Ou seja, a velocidade é igual à derivada da altura em relação ao tempo :
Vamos precisar aplicar algumas técnicas de cálculo diferencial para estimar essa derivada com os dados que temos.

Passo 2

Primeiro, como temos apenas alguns pontos de altura em momentos específicos, vamos usar uma abordagem de diferença finita para estimar a derivada. Isso significa que vamos calcular a variação da altura dividida pela variação do tempo entre pontos consecutivos. A fórmula para isso é:
onde é a diferença de tempo entre as medições.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada intervalo de tempo nos dados que você forneceu. Temos as seguintes medições:
0,0 1,001 ?
0,1 1,353 ?
0,2 1,821 ?
0,3 2,465 ?
0,4 3,318 ?
Vamos calcular para cada usando os valores seguintes.

Passo 4

Para :

Passo 5

Para :

Passo 6

Para :

Passo 7

Para :

Passo 8

Agora, sobre em quais pontos é possível calcular a velocidade de forma mais precisa: a precisão das nossas estimativas melhora quanto menores forem os intervalos de tempo ( ) que usamos para calcular a derivada. Como estamos usando segundos, a precisão é limitada por esse intervalo. Para obter cálculos mais precisos, precisaríamos de medições mais frequentes, com intervalos menores, o que reduziria o erro nas estimativas da derivada.

Resposta

As velocidades nos instantes anotados são:
É possível calcular a velocidade de forma mais precisa em pontos onde as medições são mais próximas entre si ( menor), porque isso reduz o erro na estimativa da derivada usando diferenças finitas.

Exercícios relacionados

Seja e . Determine para que o erro ao se aproximar por um polinômio de Taylor de grau seja menor do que no intervalo .
Seja a equação . Complete a tabela .
bisseção Falsa posição Ponto fixo Newton Secante
Dados iniciais <br>
iterações
Use a aproximação por polinômio de Taylor para evitar a perda de dígitos significativos nas seguintes fórmulas quando está próximo de zero:
Você estava tentando fazer alguns cálculos para salvar sua família de um eminente perigo e é necessário aproximar o valor de . Recordando de suas aulas de Calculo Numérico você lembrou que havia aprendido o Método de Newton e teve uma brilhante ideia para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer utilizando este método. Explique como método de newton pode ser utilizado para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer e mostre os cálculos para aproximar na precisão necessária.