Você estava observando o movimento do voo de uma pomba no sitio de um amigo, e anotou o tempo e a altura que a ave estava. Lembrando que a velocidade é v(t)=d(h(t))d t, calcule a velocidade, nos instantes de tempo anotados, da maneira mais precisa possível. Além disso, em quais pontos é possível fazer o cálculo de modo mais preciso e por quê?
t h(t) v(t)
0,0 1,001 ?
0,1 1,353 ?
0,2 1,821 ?
0,3 2,465 ?
0,4 3,318 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você observou o voo de uma pomba e anotou a altura dela em diferentes instantes de tempo. O que precisamos calcular aqui é a velocidade da pomba em cada um desses instantes. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que na prática é a taxa de variação da altura em relação ao tempo. Ou seja, a velocidade v(t) = d h(t)d t é igual à derivada da altura em relação ao tempo :
Vamos precisar aplicar algumas técnicas de cálculo diferencial para estimar essa derivada com os dados que temos.

Passo 2

Primeiro, como temos apenas alguns pontos de altura em momentos específicos, vamos usar uma abordagem de diferença finita para estimar a derivada. Isso significa que vamos calcular a variação da altura dividida pela variação do tempo entre pontos consecutivos. A fórmula para isso é:
v(t) approx h(t+De
onde é a diferença de tempo entre as medições.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada intervalo de tempo nos dados que você forneceu. Temos as seguintes medições:
0,0 1,001 ?
0,1 1,353 ?
0,2 1,821 ?
0,3 2,465 ?
0,4 3,318 ?
Vamos calcular para cada usando os valores seguintes.

Passo 4

Para v(0,0) approx h(0,1) - h(0,0)0,1 - 0,0 = 1,353 - 1,0010,1 = 0,3520,1 = 3,52 , m/s :

Passo 5

Para v(0,1) approx h(0,2) - h(0,1)0,2 - 0,1 = 1,821 - 1,3530,1 = 0,4680,1 = 4,68 , m/s :

Passo 6

Para v(0,2) approx h(0,3) - h(0,2)0,3 - 0,2 = 2,465 - 1,8210,1 = 0,6440,1 = 6,44 , m/s :

Passo 7

Para v(0,3) approx h(0,4) - h(0,3)0,4 - 0,3 = 3,318 - 2,4650,1 = 0,8530,1 = 8,53 , m/s :

Passo 8

Agora, sobre em quais pontos é possível calcular a velocidade de forma mais precisa: a precisão das nossas estimativas melhora quanto menores forem os intervalos de tempo ( ) que usamos para calcular a derivada. Como estamos usando segundos, a precisão é limitada por esse intervalo. Para obter cálculos mais precisos, precisaríamos de medições mais frequentes, com intervalos menores, o que reduziria o erro nas estimativas da derivada.

Resposta

As velocidades nos instantes anotados são:
É possível calcular a velocidade de forma mais precisa em pontos onde as medições são mais próximas entre si ( menor), porque isso reduz o erro na estimativa da derivada usando diferenças finitas.

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