Você estava observando o movimento do voo de uma pomba no sitio de um amigo, e anotou o tempo e a altura que a ave estava. Lembrando que a velocidade é
, calcule a velocidade, nos instantes de tempo anotados, da maneira mais precisa possível. Além disso, em quais pontos é possível fazer o cálculo de modo mais preciso e por quê?
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0,0 | 1,001 |
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0,1 | 1,353 |
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0,2 | 1,821 |
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0,3 | 2,465 |
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0,4 | 3,318 |
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você observou o voo de uma pomba e anotou a altura dela em diferentes instantes de tempo. O que precisamos calcular aqui é a velocidade da pomba em cada um desses instantes. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que na prática é a taxa de variação da altura em relação ao tempo. Ou seja, a velocidade
é igual à derivada da altura
em relação ao tempo
:
Vamos precisar aplicar algumas técnicas de cálculo diferencial para estimar essa derivada com os dados que temos.
Passo 2
Primeiro, como temos apenas alguns pontos de altura em momentos específicos, vamos usar uma abordagem de diferença finita para estimar a derivada. Isso significa que vamos calcular a variação da altura dividida pela variação do tempo entre pontos consecutivos. A fórmula para isso é:
onde
é a diferença de tempo entre as medições.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para cada intervalo de tempo nos dados que você forneceu. Temos as seguintes medições:
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0,0 | 1,001 | ? |
0,1 | 1,353 | ? |
0,2 | 1,821 | ? |
0,3 | 2,465 | ? |
0,4 | 3,318 | ? |
Vamos calcular
para cada
usando os valores seguintes.
Passo 4
Para
:
Passo 5
Para
:
Passo 6
Para
:
Passo 7
Para
:
Passo 8
Agora, sobre em quais pontos é possível calcular a velocidade de forma mais precisa: a precisão das nossas estimativas melhora quanto menores forem os intervalos de tempo (
) que usamos para calcular a derivada. Como estamos usando
segundos, a precisão é limitada por esse intervalo. Para obter cálculos mais precisos, precisaríamos de medições mais frequentes, com intervalos menores, o que reduziria o erro nas estimativas da derivada.
Resposta
As velocidades nos instantes anotados são:
É possível calcular a velocidade de forma mais precisa em pontos onde as medições são mais próximas entre si (
menor), porque isso reduz o erro na estimativa da derivada usando diferenças finitas.
Exercícios relacionados
Seja
e
. Determine
para que o erro ao se aproximar
por um polinômio de Taylor de grau
seja menor do que
no intervalo
.
Seja a equação
. Complete a tabela
.
bisseção | Falsa posição | Ponto fixo | Newton | Secante | |
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Dados iniciais |
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Use a aproximação por polinômio de Taylor para evitar a perda de dígitos significativos nas seguintes fórmulas quando
está próximo de zero:
Você estava tentando fazer alguns cálculos para salvar sua família de um eminente perigo e é necessário aproximar o valor de
. Recordando de suas aulas de Calculo Numérico você lembrou que havia aprendido o Método de Newton e teve uma brilhante ideia para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer utilizando este método. Explique como método de newton pode ser utilizado para aproximar a raiz quadrada de um número qualquer e mostre os cálculos para aproximar
na precisão necessária.