Você ficou responsável por projetar um eixo que é submetido a carregamento de torção. Deverá ser utilizado o material A da tabela acima para o eixo, podendo o mesmo ser vazado ou sólido. O torque aplicado é de 1350 N.m e o giro máximo que a barra pode sofrer é de 0.6^circ.
A) Determine o diâmetro da barra sólida (ds);
B) Determine o diâmetro externo do tubo (de), considerando que o diâmetro interno é
di=de12

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente projetar um eixo que vai sofrer torção. Temos duas partes para resolver:
A) Encontrar o diâmetro do eixo sólido ( ds).
B) Encontrar o diâmetro externo de um tubo ( de), sabendo que o diâmetro interno ( di) é de12.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre torção em eixos. Vamos precisar das fórmulas que relacionam torque, diâmetro, e ângulo de torção.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica que relaciona o torque ( T), o comprimento do eixo ( L), o módulo de rigidez ( G) e o momento polar de inércia ( J) com o ângulo de torção ( theta):
theta = T cdot LG cdot J
Mas como não temos o comprimento do eixo, vamos assumir que ele é constante ou que a relação entre torção e diâmetro será independente do comprimento para este exercício.

Passo 3

Para um eixo sólido circular, o momento polar de inércia ( J) é dado por:
J = pi cdot d^432
Onde d é o diâmetro do eixo.

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula da torção para resolver o diâmetro:
theta = T cdot LG cdot pi cdot d^432 Rightarrow d = ( 32 cdot T cdot Lpi cdot G cdot theta )^14
Como o comprimento L não foi fornecido, vamos supor que estamos trabalhando com uma relação direta para encontrar o diâmetro em termos dos outros parâmetros.

Passo 5

Agora, para o eixo oco (tubo), a fórmula do momento polar de inércia muda para:
J = pi cdot (de^4 - di^4)32
Sabendo que di = de12, podemos substituir e simplificar.

Passo 6

Antes de avançar, precisamos dos valores do módulo de rigidez ( G) do material A. Como não temos a tabela mencionada, vamos supor um valor comum para G, como 80 times 10^9 Pa (dependendo do material, isso pode variar).

Passo 7

Vamos agora calcular o diâmetro do eixo sólido ( ds). Rearranjando a fórmula da torção:
ds = ( 32 cdot T cdot Lpi cdot G cdot theta )^14
Substituindo os valores:
  • T = 1350 N.m
  • theta = 0.6^circ = 0.6 times pi180 rad
  • G = 80 times 10^9 Pa
Vamos assumir L = 1 m para simplificação.
ds = ( 32 cdot 1350 cdot 1pi cdot 80 times 10^9 cdot 0.01047 )^14 ds = ( 43200pi cdot 80 times 10^9 cdot 0.01047 )^14 ds approx ( 432002.643 times 10^9 )^14 ds approx ( 1.636 times 10^-5 )^14 ds approx 0.112 m ds approx 112 mm

Passo 8

Agora, vamos para a parte B, onde precisamos encontrar o diâmetro externo do tubo ( de), sabendo que o diâmetro interno ( di) é de12.
Primeiro, substituímos di na fórmula do momento polar de inércia:
J = pi cdot (de^4 - (de12)^4)32 J = pi cdot de^4 (1 - 112^4)32 J approx pi cdot de^4 (1 - 0.000048)32 J approx pi cdot de^4 cdot 0.99995232 J approx pi cdot de^432
Como di é muito menor que de, podemos simplificar e usar:
J approx pi cdot de^432

Passo 9

Usando a fórmula da torção novamente:
de = ( 32 cdot T cdot Lpi cdot G cdot theta )^14
Substituindo os mesmos valores:
de = ( 32 cdot 1350 cdot 1pi cdot 80 times 10^9 cdot 0.01047 )^14 de approx ( 1.636 times 10^-5 )^14 de approx 0.112 m de approx 112 mm

Resposta

A) O diâmetro da barra sólida ( ds) é aproximadamente 112 mm.
B) O diâmetro externo do tubo ( de) também é aproximadamente 112 mm.

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