Você ficou responsável por projetar um eixo que é submetido a carregamento de torção. Deverá ser utilizado o material A da tabela acima para o eixo, podendo o mesmo ser vazado ou sólido. O torque aplicado é de 1350 N.m e o giro máximo que a barra pode sofrer é de
.
A) Determine o diâmetro da barra sólida
;
B) Determine o diâmetro externo do tubo
, considerando que o diâmetro interno é
A) Determine o diâmetro da barra sólida
B) Determine o diâmetro externo do tubo
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício sobre projetar um eixo submetido a torção. A gente vai trabalhar com conceitos de resistência dos materiais, especificamente sobre torção em eixos. Precisamos calcular o diâmetro de uma barra sólida e depois o diâmetro externo de uma barra vazada (tubo), usando o torque aplicado e o giro máximo permitido. Para isso, vamos precisar das fórmulas relacionadas à torção em eixos sólidos e ocas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre torque, giro (ângulo de torção), comprimento do eixo, módulo de elasticidade (rigidez de cisalhamento) e a geometria do eixo. A fórmula que relaciona todos esses elementos é:
Onde:
-
é o ângulo de torção (em radianos). -
é o torque aplicado (em N.m). -
é o comprimento do eixo (em metros). -
é o momento polar de inércia da seção transversal. -
é o módulo de rigidez do material.
Como queremos encontrar o diâmetro, vamos reorganizar essa fórmula para resolver
.
Passo 3
Vamos começar com a parte A: determinar o diâmetro da barra sólida (
).
Para um eixo sólido de seção circular, o momento polar de inércia
é dado por:
Substituindo
na fórmula do ângulo de torção:
Agora, resolvendo para
:
Observação: Precisamos do valor de
(módulo de rigidez) e do comprimento
do eixo para calcular numericamente. Como esses valores não foram fornecidos, vamos assumir
(um valor comum para aço) e
.
Convertendo o giro máximo de graus para radianos:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos para a parte B: determinar o diâmetro externo do tubo (
), sabendo que o diâmetro interno é
.
Primeiro, expressamos
para um eixo ocasional (tubo):
Substituindo
:
Para simplificar, consideraremos
já que
é muito pequeno em relação a
.
Usando a mesma fórmula do ângulo de torção:
Resolvendo para
:
Note que essa expressão é igual à do diâmetro sólido (
). Isso ocorre porque, no nosso caso, o diâmetro interno é muito pequeno comparado ao externo, tornando o momento de inércia do tubo semelhante ao de um sólido.
Portanto, o diâmetro externo do tubo será aproximadamente igual ao diâmetro da barra sólida:
Resposta
A) O diâmetro da barra sólida
é aproximadamente 22 mm.
B) O diâmetro externo do tubo
é aproximadamente 22 mm.