Você ficou responsável por projetar um eixo que é submetido a carregamento de torção. Deverá ser utilizado o material A da tabela acima para o eixo, podendo o mesmo ser vazado ou sólido. O torque aplicado é de 1350 N.m e o giro máximo que a barra pode sofrer é de 0.91^circ.
A) Determine o diâmetro da barra sólida (ds);
B) Determine o diâmetro externo do tubo (de), considerando que o diâmetro interno é
di=de12

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre projetar um eixo submetido a torção. A gente vai trabalhar com conceitos de resistência dos materiais, especificamente sobre torção em eixos. Precisamos calcular o diâmetro de uma barra sólida e depois o diâmetro externo de uma barra vazada (tubo), usando o torque aplicado e o giro máximo permitido. Para isso, vamos precisar das fórmulas relacionadas à torção em eixos sólidos e ocas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre torque, giro (ângulo de torção), comprimento do eixo, módulo de elasticidade (rigidez de cisalhamento) e a geometria do eixo. A fórmula que relaciona todos esses elementos é:
theta = T cdot LJ cdot G
Onde:
  • é o ângulo de torção (em radianos).
  • é o torque aplicado (em N.m).
  • é o comprimento do eixo (em metros).
  • é o momento polar de inércia da seção transversal.
  • é o módulo de rigidez do material.
Como queremos encontrar o diâmetro, vamos reorganizar essa fórmula para resolver .

Passo 3

Vamos começar com a parte A: determinar o diâmetro da barra sólida ( J = pi ds^432 ).
Para um eixo sólido de seção circular, o momento polar de inércia theta = T cdot Lpi ds^432 cdot G theta = 32 T Lpi ds^4 G é dado por:
ds = ( 32 T Lpi theta G )^14
Substituindo theta = 0.91^circ times pi180 approx 0.0159 , rad na fórmula do ângulo de torção:
ds = ( 32 times 1350 times 1pi times 0.0159 times 80 times 10^9 )^14 ds = ( 43200pi times 0.0159 times 80 times 10^9 )^14 ds approx ( 432004.00 times 10^9 )^14 ds approx ( 1.08 times 10^-5 )^14 ds approx 0.022 , m ds approx 22 , mm
Agora, resolvendo para :
Observação: Precisamos do valor de (módulo de rigidez) e do comprimento do eixo para calcular numericamente. Como esses valores não foram fornecidos, vamos assumir (um valor comum para aço) e .
Convertendo o giro máximo de graus para radianos:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos para a parte B: determinar o diâmetro externo do tubo ( J = pi (de^4 - di^4)32 ), sabendo que o diâmetro interno é J = pi (de^4 - (de12)^4)32 J = pi de^4 (1 - 112^4)32 J approx pi de^4 (1 - 0.00004823)32 J approx pi de^4 times 0.9999517732 approx pi de^432 .
Primeiro, expressamos theta = T cdot LJ cdot G theta = 32 T Lpi de^4 G para um eixo ocasional (tubo):
de = ( 32 T Lpi theta G )^14
Substituindo de approx 22 , mm :
Para simplificar, consideraremos já que é muito pequeno em relação a .
Usando a mesma fórmula do ângulo de torção:
Resolvendo para :
Note que essa expressão é igual à do diâmetro sólido ( ). Isso ocorre porque, no nosso caso, o diâmetro interno é muito pequeno comparado ao externo, tornando o momento de inércia do tubo semelhante ao de um sólido.
Portanto, o diâmetro externo do tubo será aproximadamente igual ao diâmetro da barra sólida:

Resposta

A) O diâmetro da barra sólida é aproximadamente 22 mm.
B) O diâmetro externo do tubo é aproximadamente 22 mm.

Exercícios relacionados