Você precisa encaixar um anel de cobre firmemente em torno de uma haste de aço com 6,000 cm de diâmetro a 20^circ C. O diâmetro interno do anel, nesta temperatura, é 5,9800 cm. Qual deve ser a temperatura do anel de cobre, para que ele encaixe na haste sem folga, supondo que ela permaneça a 20^circ C.
Considere o coeficiente de dilatação linear do cobre como sendo alpha=17.10^-6 K^-1.
Lembre-se
Constante Universal dos gases R=8,31 J / mol. K
Número de Avogadro NA=6,02.10^23 partículas
Constante de Boltzmann K=1,38.10^-23 J / K
1 atm=1,01.10^5 Pa
1 atm L=101,3 J
Gás Monoatômico Cv=32 n R
Gás Diatômico Cv=52 n R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para ajustar um anel de cobre ao redor de uma haste de aço. A haste tem um diâmetro de 6,000 cm a 20°C, e o diâmetro interno do anel de cobre nessa mesma temperatura é 5,9800 cm. Queremos descobrir qual a temperatura que o anel de cobre precisa ter para que ele se encaixe perfeitamente na haste sem folga, assumindo que a haste permanece a 20°C. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica linear e a fórmula da dilatação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dilatação térmica linear. Quando um material é aquecido, suas dimensões aumentam proporcionalmente à temperatura. A fórmula que relaciona a variação de tamanho ( De) com a variação de temperatura ( ) é:
Onde:
  • é a variação no comprimento (ou diâmetro, no nosso caso).
  • é o coeficiente de dilatação linear do material.
  • é o comprimento original (ou diâmetro original).
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos e o que precisamos encontrar:
  • Diâmetro original do anel de cobre ( ): 5,9800 cm
  • Diferença de diâmetro necessária para encaixar na haste ( ):
  • Coeficiente de dilatação linear do cobre ( ):
  • Temperatura inicial ( ): 20°C
  • Temperatura final ( ): ?
Queremos encontrar .

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula da dilatação para resolver De:
De
Substituindo os valores:
17 times 10^-6, K^-1 cdot 5,9800, cm = 0,00010166, cm/K
Primeiro, calculamos o denominador:
De
Agora, dividimos pelo resultado:

Passo 5

Finalmente, para encontrar a temperatura final do anel de cobre ( Tf = Ti + De), somamos a variação de temperatura à temperatura inicial:

Resposta

O anel de cobre precisa ser aquecido a aproximadamente 217°C para que ele se encaixe na haste de aço sem folga.

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