Você precisa encaixar um anel de cobre firmemente em torno de uma haste de aço com 6,000 cm de diâmetro a 20^circ C. O diâmetro interno do anel, nesta temperatura, é 5,9800 cm. Qual deve ser a temperatura do anel de cobre, para que ele encaixe na haste sem folga, supondo que ela permaneça a 20^circ C.
Considere o coeficiente de dilatação linear do cobre como sendo alpha=17.10^-6 K^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma haste de aço com diâmetro de 6.000 , cm a 20^circ C e um anel de cobre com diâmetro interno de 5.9800 , cm nessa mesma temperatura. Queremos descobrir a que temperatura devemos aquecer o anel de cobre para que ele expanda e encaixe perfeitamente na haste, sem folga. Para isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica linear, que nos ajuda a calcular como o tamanho de um material muda com a temperatura. Vamos precisar da fórmula da dilatação linear e do coeficiente de dilatação do cobre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da dilatação linear. Ela diz que a variação no comprimento (ou diâmetro, no nosso caso) de um material é proporcional ao coeficiente de dilatação, à variação de temperatura e ao comprimento inicial. A fórmula é:
De
Onde:
  • De é a variação do diâmetro.
  • D0 é o diâmetro inicial.
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear.
  • De é a variação de temperatura que queremos achar.

Passo 3

No nosso problema, queremos que o anel de cobre aumente de 5.9800 , cm para 6.000 , cm. Então, a variação do diâmetro De é:
De

Passo 4

Sabemos que o coeficiente de dilatação linear do cobre é alpha = 17.10^-6 , K^-1. Queremos achar a variação de temperatura De que faz o anel expandir esses 0.0200 , cm. Vamos reorganizar a fórmula da dilatação linear para resolver De:
De

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula:
De

Passo 6

Vamos calcular o denominador primeiro:
5.9800 , cm times 17.10^-6 , K^-1 = 0.000102058 , cm/K
Então,
De

Passo 7

A variação de temperatura De que precisamos é de aproximadamente 196.05 , K. Como a temperatura inicial do anel de cobre é 20^circ C, a temperatura final Tf será:
Tf = 20^circ C + 196.05 , K = 216.05^circ C

Resposta

A temperatura final do anel de cobre deve ser aproximadamente 216.05^circ C para que ele encaixe na haste de aço sem folga.

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