Você está realizando experimentos para estudar protótipos de máquinas térmicas. Em um teste, 4,00 moles de gás argônio são retirados do ciclo mostrado na Figura P20.57. A pressão é baixa o suficiente para que o gás seja tratado como ideal. Você mede a temperatura do gás nos estados a, b, c e d e descobre que Ta=250,0 K, Tb=300,0 K, Tc=380,0 K e Td=316,7 K. (a) Calcule a eficiência e do ciclo. (b) Desapontado com a baixa eficiência do ciclo, você pensa em dobrar o número de moles de gás enquanto mantém a pressão e o volume inalterados. Qual seria e nesse caso? © Você se lembra que a eficiência de um ciclo de Carnot aumenta se a temperatura do reservatório quente for aumentada. Assim, você volta a usar 4,00 moles de gás, mas dobra o volume nos estados c e d enquanto mantém as pressões iguais. As temperaturas resultantes nesses estados são Tc=760,0 K e Td=633,4 K. Ta e Tb permanecem as mesmas que no item (a). Calcule e para este ciclo com os novos valores de Tc e Td. (d) Encorajado pelo aumento da eficiência, você aumenta Tc e Td ainda mais. Porém, e não aumenta muito; ele parece estar se aproximando de um valor limite. Se Ta=250,0 K e Tb= 300,0 K e você mantém os volumes Va e Vb iguais aos do item (a), então Tc / Td=Tb / Ta e Tc=1,20 Td. Deduza uma expressão para e em função de Td para este ciclo. Para que valor e se aproxima quando Td se torna muito grande?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Você tem um ciclo de máquina térmica usando gás argônio, tratado como ideal. O enunciado nos dá as temperaturas em quatro estados diferentes e pede para calcular a eficiência desse ciclo em várias situações. Vamos usar conceitos de termodinâmica, como a eficiência térmica e as leis dos gases ideais. Precisaremos lembrar das fórmulas de eficiência e das relações entre pressão, volume e temperatura para gases ideais.

Passo 2

Parte (a): Calcular a eficiência e = 1 - QfrioQquente do ciclo.
Primeiro, vamos lembrar que a eficiência térmica de uma máquina térmica é dada por:
e = WQquente
Mas, como estamos lidando com um ciclo termodinâmico, podemos usar também a eficiência em termos das temperaturas, especialmente se o ciclo for reversível (como o ciclo de Carnot). No entanto, o enunciado não especifica o tipo de ciclo, então vamos pressupor que precisamos usar a relação geral de eficiência para qualquer ciclo:
e = 1 - TfrioTquente
Onde e = 1 - TaTc = 1 - 250,0380,0 approx 1 - 0,6579 = 0,3421 , ou , 34,21% é o trabalho realizado pela máquina e é o calor absorvido do reservatório quente.
Como não temos informações diretas sobre os calores, vamos usar a relação dos estados do gás ideal para encontrar a eficiência. Sabemos que a eficiência também pode ser expressa em termos das temperaturas dos reservatórios:
Identificando as temperaturas do ciclo:
  • (reservatório frio)
  • (reservatório quente)
Para calcular a eficiência, precisamos identificar qual é a temperatura efetiva do reservatório quente e do reservatório frio. Vamos considerar como a temperatura do reservatório quente e como a fria.
Então, a eficiência é:

Passo 3

Parte (b): Dobrar o número de moles de gás mantendo pressão e volume inalterados. Qual seria PV = nRT implies T propto n nesse caso?
Aqui, a gente está dobrando a quantidade de gás ( ) de 4,00 moles para 8,00 moles, mas mantendo pressão ( ) e volume ( ) constantes. Quando a pressão e o volume são mantidos constantes, a temperatura muda proporcionalmente ao número de moles, segundo a equação dos gases ideais:
Como dobro, também dobra. No entanto, a eficiência depende apenas das temperaturas dos reservatórios, não da quantidade de gás. Portanto, se a temperatura dos reservatórios não muda, a eficiência permanece a mesma.
Então, a eficiência continua sendo aproximadamente 34,21%.

Passo 4

Parte ©: Dobrar o volume nos estados P = nRTV implies T propto V e e = 1 - TaTc = 1 - 250,0760,0 approx 1 - 0,3289 = 0,6711 , ou , 67,11% mantendo as pressões iguais, resultando em e . Calcular para este ciclo.
Agora, ao dobrar os volumes em e , mantendo as pressões constantes, de acordo com a lei dos gases ideais:
Os novos valores de temperatura são fornecidos:
Agora, a eficiência será:

Passo 5

Parte (d): Deduza uma expressão para Tc = 1,20 , Td em função de e = 1 - TfrioTquente quando e = 1 - TaTc = 1 - 250,01,20 , Td = 1 - 250,01,20 cdot 1Td = 1 - 208,33Td . Determine o valor que e(Td) = 1 - 208,33Td se aproxima quando limTd to infty e(Td) = 1 - limTd to infty 208,33Td = 1 - 0 = 1 , ou , 100% tende ao infinito.
Primeiro, vamos expressar em termos de :
Queremos expressar a eficiência em função de . A eficiência geral do ciclo pode ser dada por:
Assumindo que e , então:
Então, a expressão para em função de é:
Agora, queremos saber para que valor se aproxima quando tende ao infinito ( ):

Resposta

(a) A eficiência do ciclo é aproximadamente 34,21%.
(b) Ao dobrar o número de moles mantendo pressão e volume iguais, a eficiência continua sendo 34,21%.
© Com os novos valores de temperatura, a eficiência do ciclo é aproximadamente 67,11%.
(d) A eficiência em função de é . Quando se torna muito grande, se aproxima de 100%.

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