Você está realizando experimentos para estudar protótipos de máquinas térmicas. Em um teste, 4,00 moles de gás argônio são retirados do ciclo mostrado na Figura P20.57. A pressão é baixa o suficiente para que o gás seja tratado como ideal. Você mede a temperatura do gás nos estados
e
e descobre que
,
e
. (a) Calcule a eficiência
do ciclo. (b) Desapontado com a baixa eficiência do ciclo, você pensa em dobrar o número de moles de gás enquanto mantém a pressão e o volume inalterados. Qual seria
nesse caso? © Você se lembra que a eficiência de um ciclo de Carnot aumenta se a temperatura do reservatório quente for aumentada. Assim, você volta a usar 4,00 moles de gás, mas dobra o volume nos estados
e
enquanto mantém as pressões iguais. As temperaturas resultantes nesses estados são
e
.
e
permanecem as mesmas que no item (a). Calcule
para este ciclo com os novos valores de
e
. (d) Encorajado pelo aumento da eficiência, você aumenta
e
ainda mais. Porém,
não aumenta muito; ele parece estar se aproximando de um valor limite. Se
e
e você mantém os volumes
e
iguais aos do item (a), então
e
. Deduza uma expressão para
em função de
para este ciclo. Para que valor
se aproxima quando
se torna muito grande?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Você tem um ciclo de máquina térmica usando gás argônio, tratado como ideal. O enunciado nos dá as temperaturas em quatro estados diferentes e pede para calcular a eficiência desse ciclo em várias situações. Vamos usar conceitos de termodinâmica, como a eficiência térmica e as leis dos gases ideais. Precisaremos lembrar das fórmulas de eficiência e das relações entre pressão, volume e temperatura para gases ideais.
Passo 2
Parte (a): Calcular a eficiência
do ciclo.
Primeiro, vamos lembrar que a eficiência térmica de uma máquina térmica é dada por:
Mas, como estamos lidando com um ciclo termodinâmico, podemos usar também a eficiência em termos das temperaturas, especialmente se o ciclo for reversível (como o ciclo de Carnot). No entanto, o enunciado não especifica o tipo de ciclo, então vamos pressupor que precisamos usar a relação geral de eficiência para qualquer ciclo:
Onde
é o trabalho realizado pela máquina e
é o calor absorvido do reservatório quente.
Como não temos informações diretas sobre os calores, vamos usar a relação dos estados do gás ideal para encontrar a eficiência. Sabemos que a eficiência também pode ser expressa em termos das temperaturas dos reservatórios:
Identificando as temperaturas do ciclo:
-
(reservatório frio) -
(reservatório quente) -
-
Para calcular a eficiência, precisamos identificar qual é a temperatura efetiva do reservatório quente e do reservatório frio. Vamos considerar
como a temperatura do reservatório quente e
como a fria.
Então, a eficiência
é:
Passo 3
Parte (b): Dobrar o número de moles de gás mantendo pressão e volume inalterados. Qual seria
nesse caso?
Aqui, a gente está dobrando a quantidade de gás (
) de 4,00 moles para 8,00 moles, mas mantendo pressão (
) e volume (
) constantes. Quando a pressão e o volume são mantidos constantes, a temperatura muda proporcionalmente ao número de moles, segundo a equação dos gases ideais:
Como
dobro,
também dobra. No entanto, a eficiência
depende apenas das temperaturas dos reservatórios, não da quantidade de gás. Portanto, se a temperatura dos reservatórios não muda, a eficiência permanece a mesma.
Então, a eficiência
continua sendo aproximadamente 34,21%.
Passo 4
Parte ©: Dobrar o volume nos estados
e
mantendo as pressões iguais, resultando em
e
. Calcular
para este ciclo.
Agora, ao dobrar os volumes em
e
, mantendo as pressões constantes, de acordo com a lei dos gases ideais:
Os novos valores de temperatura são fornecidos:
Agora, a eficiência
será:
Passo 5
Parte (d): Deduza uma expressão para
em função de
quando
. Determine o valor que
se aproxima quando
tende ao infinito.
Primeiro, vamos expressar
em termos de
:
Queremos expressar a eficiência
em função de
. A eficiência geral do ciclo pode ser dada por:
Assumindo que
e
, então:
Então, a expressão para
em função de
é:
Agora, queremos saber para que valor
se aproxima quando
tende ao infinito (
):
Resposta
(a) A eficiência
do ciclo é aproximadamente 34,21%.
(b) Ao dobrar o número de moles mantendo pressão e volume iguais, a eficiência
continua sendo 34,21%.
© Com os novos valores de temperatura, a eficiência
do ciclo é aproximadamente 67,11%.
(d) A eficiência
em função de
é
. Quando
se torna muito grande,
se aproxima de 100%.
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.
c) A velocidade média em notação de vetores unitários.
d) A velocidade escalar média da borboleta durante o intervalo de 40,0s.
b)
c) A velocidade média em notação de vetores unitários.
d) A velocidade escalar média da borboleta durante o intervalo de 40,0s.