Um volante gira 40 vezes enquanto diminui sua velocidade angular de 1,5 rad/s até o repouso. Considerando uma aceleração angular constante, a) quanto tempo leva para isso acontecer? b) qual a aceleração angular?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um volante que gira 40 vezes enquanto sua velocidade angular diminui de 1,5 rad/s até parar. Queremos descobrir:
a) Quanto tempo isso leva?
b) Qual é a aceleração angular constante envolvida nesse processo?
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento angular com aceleração angular constante. Vamos precisar lembrar de algumas fórmulas básicas da cinemática angular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as 40 voltas em radianos, porque as equações trabalham com radianos. Sabemos que 1 volta completa é igual a $ 2\pi $ radianos. Então:
2pi

Passo 3

Agora, vamos usar as equações da cinemática angular. Como a aceleração angular é constante, podemos usar as seguintes fórmulas:
  1. $ \omega = \omega_0 + \alpha t $
  2. $ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 $
Onde:
  • $ \omega $ é a velocidade angular final (0 rad/s, já que para),
  • $ \omega_0 $ é a velocidade angular inicial (1,5 rad/s),
  • $ \alpha $ é a aceleração angular,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ \theta $ é o deslocamento angular (80π rad).

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o tempo $ t $. Da primeira equação:
t
Mas precisamos de mais informações para isolar $ t $. Vamos usar a segunda equação.
Substituindo $ \alpha $ da primeira equação na segunda:
0 = 1,5 + alpha t Rightarrow alpha t = -1,5 Rightarrow t = -1,5alpha
Simplificando:
t
alpha
80pi = 1,5 t + 12 ( -1,5t ) t^2

Passo 5

Agora que temos o tempo, vamos calcular a aceleração angular $ \alpha $ usando a relação encontrada anteriormente:
alpha
t = 320pi3

Resposta

a) O tempo necessário para o volante parar é de aproximadamente $ \frac{320\pi}{3} $ segundos, ou cerca de 335,10 segundos.
b) A aceleração angular constante é de $ -\frac{9}{640\pi} $ rad/s², aproximadamente -0,00448 rad/s².

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