Um volante girando livremente a 1800 rpm no sentido horário é submetido a um torque variável no sentido anti-horário que é aplicado pela primeira vez no instante
0 . O torque produz uma aceleração angular no sentido anti-horário
, onde
é o tempo em segundos durante o qual o torque é aplicado. Determine o número total de rotações, no sentido horário e anti-horário, dadas pelo volante durante os primeiros 14 segundos de aplicação do torque.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um volante que está girando a 1800 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. De repente, um torque (que é tipo uma força que faz girar) começa a agir no sentido anti-horário, ou seja, no sentido oposto. Esse torque gera uma aceleração angular que muda com o tempo, dada por
, onde
é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir quantas rotações o volante faz no sentido horário e no sentido anti-horário durante os primeiros 14 segundos em que o torque está sendo aplicado.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular inicial, aceleração angular, integração para encontrar a velocidade e a posição angular, e por fim, converter isso para rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (
), porque nas equações de movimento rotacional a gente trabalha com radianos.
A fórmula para converter é:
Substituindo:
Então, a velocidade angular inicial é
no sentido horário.
Passo 3
Como o torque está no sentido anti-horário, a aceleração angular
também é no sentido anti-horário. Vamos assumir que o sentido horário é negativo e o anti-horário é positivo. Assim, a velocidade inicial será negativa:
Passo 4
Para encontrar a velocidade angular
após
segundos, vamos integrar a aceleração angular em relação ao tempo:
Integrando:
Passo 5
Agora, para encontrar a posição angular
, que nos dá quantas rotações ocorreram, vamos integrar a velocidade angular:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Vamos calcular
, ou seja, a posição angular após 14 segundos:
Calculando cada parte:
Então:
Aproximando
:
Passo 7
Agora, para encontrar o número de rotações, dividimos
por
:
O sinal negativo indica que o sentido predominante é horário.
Passo 8
Para separar as rotações em sentido horário e anti-horário, precisamos considerar que inicialmente o volante estava girando no sentido horário e sofreu uma aceleração no sentido anti-horário. O resultado final mostra um total líquido de aproximadamente 129 rotações no sentido horário.
Resposta
Durante os primeiros 14 segundos, o volante realizou aproximadamente 129 rotações no sentido horário e nenhuma rotação líquida no sentido anti-horário.