Um volante girando livremente a 1800 rpm no sentido horário é submetido a um torque variável no sentido anti-horário que é aplicado pela primeira vez no instante t= 0 . O torque produz uma aceleração angular no sentido anti-horário alpha=4 t rad / s^2, onde t é o tempo em segundos durante o qual o torque é aplicado. Determine o número total de rotações, no sentido horário e anti-horário, dadas pelo volante durante os primeiros 14 segundos de aplicação do torque.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um volante que está girando a 1800 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. De repente, um torque (que é tipo uma força que faz girar) começa a agir no sentido anti-horário, ou seja, no sentido oposto. Esse torque gera uma aceleração angular que muda com o tempo, dada por , onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir quantas rotações o volante faz no sentido horário e no sentido anti-horário durante os primeiros 14 segundos em que o torque está sendo aplicado.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular inicial, aceleração angular, integração para encontrar a velocidade e a posição angular, e por fim, converter isso para rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo ( omega0 = rpm times 2pi60 ), porque nas equações de movimento rotacional a gente trabalha com radianos.
A fórmula para converter é:
omega0 = 1800 times 2pi60 = 1800 times pi30 = 60pi , rad/s
Substituindo:
Então, a velocidade angular inicial é no sentido horário.

Passo 3

Como o torque está no sentido anti-horário, a aceleração angular omega0 = -60pi , rad/s também é no sentido anti-horário. Vamos assumir que o sentido horário é negativo e o anti-horário é positivo. Assim, a velocidade inicial será negativa:

Passo 4

Para encontrar a velocidade angular omega(t) = omega0 + integral0^t alpha(t) , dt = -60pi + integral0^t 4t , dt após omega(t) = -60pi + 2t^2 segundos, vamos integrar a aceleração angular em relação ao tempo:
Integrando:

Passo 5

Agora, para encontrar a posição angular theta(t) = integral0^t omega(t) , dt = integral0^t (-60pi + 2t^2) , dt , que nos dá quantas rotações ocorreram, vamos integrar a velocidade angular:
theta(t) = -60pi t + 23t^3
Integrando termo a termo:

Passo 6

Vamos calcular theta(14) = -60pi times 14 + 23 times 14^3 , ou seja, a posição angular após 14 segundos:
-60pi times 14 = -840pi , rad
Calculando cada parte:
23 times 14^3 = 23 times 2744 = 54883 approx 1829.33 , rad
theta(14) = -840pi + 1829.33
Então:
-840 times 3.1416 approx -2640 , rad
Aproximando theta(14) approx -2640 + 1829.33 = -810.67 , rad :

Passo 7

Agora, para encontrar o número de rotações, dividimos Rotações = theta2pi = -810.672pi approx -810.676.2832 approx -129 , rotações por :
çõçõ
O sinal negativo indica que o sentido predominante é horário.

Passo 8

Para separar as rotações em sentido horário e anti-horário, precisamos considerar que inicialmente o volante estava girando no sentido horário e sofreu uma aceleração no sentido anti-horário. O resultado final mostra um total líquido de aproximadamente 129 rotações no sentido horário.

Resposta

Durante os primeiros 14 segundos, o volante realizou aproximadamente 129 rotações no sentido horário e nenhuma rotação líquida no sentido anti-horário.

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