Um volante girando livremente a 1800 rpm no sentido horário é submetido a um torque variável no sentido anti-horário que é aplicado pela primeira vez no instante t= 0 . O torque produz uma aceleração angular no sentido anti-horário alpha=4 t rad / s^2, onde t é o tempo em segundos durante o qual o torque é aplicado. Determine o tempo necessário para o volante inverter o seu sentido de rotação.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um volante que está girando livremente a 1800 rotações por minuto (rpm) no sentido horário. De repente, aplicam um torque que varia no sentido anti-horário, começando no instante t = 0. Esse torque gera uma aceleração angular anti-horária que depende do tempo, dada por alpha = 4t , rad/s^2.
O que precisamos descobrir é quanto tempo leva para o volante parar de girar no sentido horário e começar a girar no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente a relação entre aceleração angular, velocidade angular e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de 1800 rpm para radianos por segundo (rad/s), porque as unidades de aceleração angular estão em rad/s². A conversão é feita da seguinte forma:
omega0 = 1800 , rpm times 2pi , rad1 , rotação times 1 , min60 , s = 1800 times 2pi60 = 60pi , rad/s çã
Então, a velocidade angular inicial é omega0 = 60pi , rad/s no sentido horário. Vamos considerar o sentido horário como negativo e o anti-horário como positivo. Portanto:
omega0 = -60pi , rad/s

Passo 3

Agora, sabemos que a aceleração angular é alpha = 4t , rad/s^2 no sentido anti-horário (positivo). A velocidade angular em função do tempo é obtida integrando a aceleração angular:
omega(t) = omega0 + integral0^t alpha , dt = omega0 + integral0^t 4t , dt
Vamos calcular essa integral:
integral0^t 4t , dt = 2t^2
Então, a velocidade angular fica:
omega(t) = -60pi + 2t^2

Passo 4

Queremos encontrar o tempo t em que o volante para de girar no sentido horário e começa a girar no sentido anti-horário. Isso ocorre quando a velocidade angular omega(t) se torna zero:
omega(t) = 0 = -60pi + 2t^2
Vamos resolver para t:
2t^2 = 60pi
t^2 = 30pi
t = raiz30pi

Passo 5

Calculando o valor numérico de raiz30pi:
t approx raiz30 times 3,1416 approx raiz94,248 approx 9,71 , segundos

Resposta

O tempo necessário para o volante inverter o sentido de rotação é aproximadamente 9,71 segundos.

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