O volume V = V(r) = (4/3) * pi * r^3 de um balão esférico muda de acordo com o valor do raio. Qual a taxa de variação de volume em relação ao raio, quando r = 2 cm ? Interprete o resultado obtido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como o volume de um balão esférico muda conforme o raio aumenta. A fórmula do volume é . Nosso objetivo é descobrir qual a velocidade com que o volume muda quando o raio é de 2 cm. Para isso, vamos usar derivadas, que ajudam a entender como uma coisa muda em relação a outra.

Passo 2

Para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao raio, precisamos derivar a fórmula do volume em relação a . Vamos fazer isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada. Lembre-se que a derivada de é . Aplicando isso:

Passo 4

Pronto, temos a fórmula da taxa de variação: . Agora, precisamos encontrar esse valor quando cm.
Substituindo:

Resposta

A taxa de variação do volume em relação ao raio quando cm é cm²/cm. Isso significa que, nesse ponto, para cada cent��metro que o raio aumenta, o volume do balão aumenta aproximadamente cm³ (já que ).

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