Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma expressão que provavelmente vem de um exercício de cálculo integral. O conteúdo principal é a integração de funções que envolvem logaritmos e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar. Parece que queremos encontrar a integral de
em relação a
. Então, nosso objetivo é calcular:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, queremos expressar o
em termos de
:
Mas, como
, temos que
. Então:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Passo 6
Agora, vamos decompor a fração racional usando frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Voltando à integral:
Substituindo
:
Passo 8
Simplificando
:
Então, nossa expressão fica:
Resposta
A integral de
em relação a
é: