Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma expressão que provavelmente vem de um exercício de cálculo integral. O conteúdo principal é a integração de funções que envolvem logaritmos e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos integrar. Parece que queremos encontrar a integral de em relação a . Então, nosso objetivo é calcular:

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, queremos expressar o em termos de :
Mas, como , temos que . Então:

Passo 5

Substituindo e na integral original:

Passo 6

Agora, vamos decompor a fração racional usando frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , podemos escolher valores de :
  • Se :
  • Se :
Então, a decomposição fica:

Passo 7

Voltando à integral:
Substituindo :

Passo 8

Simplificando :
Então, nossa expressão fica:

Resposta

A integral de em relação a é:

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