Demonstre. Sejam um conjunto ortonormal num espaço vetorial com produto interno, e seja qualquer. Então
para quaisquer a1, ldots, an.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores ortonormais em um espaço vetorial com produto interno. Além disso, temos um vetor qualquer em . O que precisamos demonstrar é que a norma de menos a soma das projeções de nesses vetores ortonormais é a menor possível quando comparada a qualquer outra combinação linear desses vetores.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, produto interno, ortonormalidade e projeção ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter um conjunto de vetores ortonormais. Um conjunto de vetores é ortonormal se eles são todos ortogonais (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero) e cada vetor tem norma 1. Matematicamente, isso se expressa como:
(ei, ej) = 1 & se i = j 0 & se i neq j
Isso simplifica bastante os cálculos envolvendo esses vetores.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre projeção ortogonal. Quando projetamos um vetor ProjS(y) = sumi=1^n (y, ei) ei em um subespaço gerado por vetores ortonormais , a projeção é dada por:
Aqui, representa o produto interno entre e , que calcula a componente de na direção de .
Passo 4
O que o exercício quer que a gente mostre é que essa projeção | y - sumi=1^n (y, ei) ei | <= | y - sumi=1^n ai ei | é a melhor aproximação linear de no subespaço gerado por . Em outras palavras, a distância entre e essa projeção é menor ou igual à distância entre e qualquer outra combinação linear desses vetores.
Vamos formalizar isso: queremos provar que
para quaisquer escalares .
Passo 5
Para provar isso, vamos considerar a diferença entre y - sumi=1^n ai ei = ( y - sumi=1^n (y, ei) ei ) + sumi=1^n ( (y, ei) - ai ) ei e uma combinação linear qualquer . Podemos reescrever essa diferença como:
Note que é a componente de que está fora do subespaço , e está dentro de .
Passo 6
Como os vetores | y - sumi=1^n ai ei |^2 = | y - sumi=1^n (y, ei) ei |^2 + | sumi=1^n ( (y, ei) - ai ) ei |^2 são ortonormais, as duas partes dessa soma são ortogonais entre si. Isso significa que podemos calcular a norma da soma usando o teorema de Pitágoras:
| y - sumi=1^n (y, ei) ei | <= | y - sumi=1^n ai ei |
Como a segunda parte é sempre não negativa (é uma norma ao quadrado), isso implica que:
porque estamos somando algo positivo ao quadrado da primeira norma.
Resposta
Portanto, demonstramos que a norma de | y - sumi=1^n (y, ei) ei | <= | y - sumi=1^n ai ei | menos a soma das projeções ortonormais é sempre menor ou igual à norma de menos qualquer outra combinação linear desses vetores ortonormais. Ou seja,