Passo 1
Vamos resolver a desigualdade
. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre inequações envolvendo frações e propriedades das funções. Precisaremos manipular a expressão para encontrar os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer o domínio da desigualdade. A expressão
está definida para todos os números reais exceto quando
, pois a divisão por zero não é permitida. Portanto, nosso domínio é
e
.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a resolução. Nossa meta é combinar os termos em uma única fração. Vamos subtrair 2 de ambos os lados da desigualdade:
Isso nos dá:
Passo 4
Para combinar os termos, vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador. O denominador comum aqui é
. Portanto, reescrevemos a expressão:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, vamos analisar a expressão
. Sabemos que
é sempre positivo ou zero, pois é um quadrado. Porém, queremos que a expressão inteira seja maior que zero. Isso significa que o numerador deve ser positivo e o denominador também deve ser positivo, já que uma fração positiva ocorre quando ambos têm o mesmo sinal.
Então, temos duas condições:
-
Isto é sempre verdadeiro, exceto quando. -
O denominador deve ser positivo.
Passo 6
Considerando as condições acima:
-
-
(pois em , a expressão é igual a 2, não maior que 2)
Portanto, a solução da desigualdade é todos os números reais positivos diferentes de 1.
Resposta
A solução da desigualdade
é
e
. Ou seja, todos os números positivos exceto
.