Uma xícara de café, a uma temperatura de 90°C, é colocada em um freezer, a 0° C. A temperatura do café decresce exponencialmente, de tal modo que, depois de 5 minutos, a temperatura é de 30° C.
 
Qual a temperatura do café, depois de 10 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre como a temperatura de uma xícara de café diminui quando colocada no freezer. Esse tipo de situação é resolvido usando a Lei do Resfriamento de Newton, que fala que a temperatura de um objeto muda de forma exponencial em direção à temperatura do ambiente. Aqui, precisamos descobrir qual a temperatura do café após 10 minutos, sabendo que ele começou com 90°C e depois de 5 minutos caiu para 30°C no freezer a 0°C.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a temperatura $ T(t) $ do objeto em função do tempo $ t $ é dada por:
T(t)
onde:
  • $ T_{ambiente} $ é a temperatura do ambiente (no caso, 0°C),
  • $ T_0 $ é a temperatura inicial do objeto (90°C),
  • $ k $ é a constante de resfriamento,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

A gente sabe que depois de 5 minutos, a temperatura do café é 30°C. Vamos usar essa informação para encontrar a constante $ k $.
Substituindo os valores na fórmula:
k
Simplificando:
30 = 0 + (90 - 0) cdot e^-k cdot 5
Dividindo ambos os lados por 90:
30 = 90 cdot e^-5k
3090 = e^-5k
Para resolver para $ k $, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
13 = e^-5k
k
ln(13) = -5k

Passo 4

Agora que temos $ k $, vamos calcular a temperatura após 10 minutos usando a mesma fórmula.
k
Substituindo $ k = \frac{\ln(3)}{5} $:
T(10) = 0 + 90 cdot e^-k cdot 10
k = ln(3)5
Usando a propriedade dos logaritmos $ e{\ln(ab)} = a^b $:
T(10) = 90 cdot e^-(ln(3)5) cdot 10
T(10) = 90 cdot e^-2ln(3)

Resposta

Depois de 10 minutos, a temperatura do café será de 10°C.

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