Uma xícara de café, a uma temperatura de 90°C, é colocada em um freezer, a 0° C. A temperatura do café decresce exponencialmente, de tal modo que, depois de 5 minutos, a temperatura é de 30° C.
Qual a temperatura do café, depois de 10 minutos?
Qual a temperatura do café, depois de 10 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre como a temperatura de uma xícara de café diminui quando colocada no freezer. Esse tipo de situação é resolvido usando a Lei do Resfriamento de Newton, que fala que a temperatura de um objeto muda de forma exponencial em direção à temperatura do ambiente. Aqui, precisamos descobrir qual a temperatura do café após 10 minutos, sabendo que ele começou com 90°C e depois de 5 minutos caiu para 30°C no freezer a 0°C.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a temperatura $ T(t) $ do objeto em função do tempo $ t $ é dada por:
onde:
- $ T_{ambiente} $ é a temperatura do ambiente (no caso, 0°C),
- $ T_0 $ é a temperatura inicial do objeto (90°C),
- $ k $ é a constante de resfriamento,
- $ t $ é o tempo.
Passo 3
A gente sabe que depois de 5 minutos, a temperatura do café é 30°C. Vamos usar essa informação para encontrar a constante $ k $.
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 90:
Para resolver para $ k $, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora que temos $ k $, vamos calcular a temperatura após 10 minutos usando a mesma fórmula.
Substituindo $ k = \frac{\ln(3)}{5} $:
Usando a propriedade dos logaritmos $ e{\ln(ab)} = a^b $:
Resposta
Depois de 10 minutos, a temperatura do café será de 10°C.