Uma xícara de café, a uma temperatura de 90o C, é colocada em um freezer, a 0o C. A temperatura do café decresce exponencialmente, de tal modo que, depois de 5 minutos, a temperatura é de 30o C. Qual a temperatura do café, depois de 10 minutos?
(A) 10o C
(B) 18o C
© 16o C
(D) 14o C
(E) 12o C

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: temos uma xícara de café que está a 90°C sendo colocada num freezer que está a 0°C. A temperatura do café diminui de forma exponencial, e depois de 5 minutos ela está a 30°C. A gente quer saber qual vai ser a temperatura do café depois de 10 minutos. Vamos usar o conceito de Lei do Resfriamento de Newton para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a temperatura do objeto em qualquer tempo $ t $ é dada por:
t
Onde:
  • $ T(t) $ é a temperatura no tempo $ t $.
  • $ T_s $ é a temperatura ambiente (no caso, o freezer).
  • $ T_0 $ é a temperatura inicial do objeto.
  • $ k $ é uma constante que depende das características do objeto e do ambiente.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos identificar os valores que já temos:
  • Temperatura ambiente do freezer, $ T_s = 0°C $.
  • Temperatura inicial do café, $ T_0 = 90°C $.
  • Depois de 5 minutos, $ T(5) = 30°C $.
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar a constante $ k $:
Ts = 0°C
T0 = 90°C
Agora, vamos resolver para $ k $:
T(5) = 30°C
k
Para eliminar o expoente, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
30 = 0 + (90 - 0) cdot e^-5k
30 = 90 cdot e^-5k
k

Passo 4

Agora que temos o valor de $ k k óó t = 10 $):
t = 10
T(10) = 0 + (90 - 0) cdot e^-k cdot 10
Substituindo $ k = \frac{\ln(3)}{5} $:
T(10) = 90 cdot e^-10k
k = ln(3)5

Passo 5

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
e^-2ln(3) = e^ln(3^-2) = 3^-2 = 19
Então:
T(10) = 90 cdot 19 = 10°C

Resposta

A temperatura do café depois de 10 minutos é 10°C, ou seja, a opção (A).

Exercícios relacionados