Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu é a função . O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas, especificamente a derivada de funções exponenciais e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função que tem uma potência com uma raiz quadrada no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada nos ajuda a descobrir a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. Aqui, queremos encontrar , ou seja, quanto muda quando muda.

Passo 3

Dada a função , percebemos que temos uma função exponencial onde o expoente é . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.

Passo 4

Vamos reescrever a função usando a base do logaritmo natural para facilitar a derivação:
Aqui, usamos a propriedade para facilitar a derivação.

Passo 5

Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
A derivada de é , onde .

Passo 6

Vamos calcular a derivada de :
Aqui, usamos a derivada de , que é .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Lembrando que , podemos simplificar:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Encontre :
Encontre :
Encontre sabendo-se que