Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu é a função
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas, especificamente a derivada de funções exponenciais e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função que tem uma potência com uma raiz quadrada no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada nos ajuda a descobrir a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. Aqui, queremos encontrar
, ou seja, quanto
muda quando
muda.
Passo 3
Dada a função
, percebemos que temos uma função exponencial onde o expoente é
. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.
Passo 4
Vamos reescrever a função usando a base do logaritmo natural para facilitar a derivação:
Aqui, usamos a propriedade
para facilitar a derivação.
Passo 5
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
A derivada de
é
, onde
.
Passo 6
Vamos calcular a derivada de
:
Aqui, usamos a derivada de
, que é
.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Lembrando que
, podemos simplificar:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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sabendo-se que