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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a função . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a , ou seja, calcular .
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de cálculo de derivadas, como a regra da cadeia. A regra da cadeia é essencial quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Vamos passar por cada parte da função para entender como derivar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas da nossa função . Podemos ver que temos três níveis de funções compostas:
  1. Nível mais interno:
  2. Nível intermediário:
  3. Nível externo:
Isso significa que vamos derivar de dentro para fora, aplicando a regra da cadeia a cada camada.

Passo 3

Vamos começar derivando o nível mais interno, ou seja, .
Sabemos que pode ser reescrito como .
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar o nível intermediário, que é .
A derivada de em relação a é . Então, usando a regra da cadeia:
Mas já sabemos que , então:
Substituindo :

Passo 5

Finalmente, vamos derivar o nível externo, que é .
A derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia novamente:
E já temos , então:
Substituindo :

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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Derive as funções dadas:
Derive as funções dadas: