.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a função . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a
, ou seja, calcular
.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de cálculo de derivadas, como a regra da cadeia. A regra da cadeia é essencial quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Vamos passar por cada parte da função para entender como derivar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas da nossa função . Podemos ver que temos três níveis de funções compostas:
- Nível mais interno:
- Nível intermediário:
- Nível externo:
Isso significa que vamos derivar de dentro para fora, aplicando a regra da cadeia a cada camada.
Passo 3
Vamos começar derivando o nível mais interno, ou seja,
.
Sabemos que
pode ser reescrito como
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar o nível intermediário, que é .
A derivada de em relação a
é
. Então, usando a regra da cadeia:
Mas já sabemos que
, então:
Substituindo
:
Passo 5
Finalmente, vamos derivar o nível externo, que é
.
A derivada de
em relação a
é . Aplicando a regra da cadeia novamente:
E já temos
, então:
Substituindo :
Resposta
A derivada da função em relação a
é:
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