.
Passo 1
Beleza, então o enunciado do exercício é
. Isso significa que a gente tem uma função que envolve seno e cosseno de
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função
é uma composição de duas funções:
- A função externa:
, onde . - A função interna:
.
Passo 3
Agora, para derivar
em relação a
, vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada da função externa
em relação a
é:
Em seguida, a derivada da função interna
em relação a
é:
(Lembre-se que a derivada de
é
.)
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
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Derive as funções dadas: