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Passo 1

Beleza, então o enunciado do exercício é . Isso significa que a gente tem uma função que envolve seno e cosseno de . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função é uma composição de duas funções:
  1. A função externa: , onde .
  2. A função interna: .

Passo 3

Agora, para derivar em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada da função externa em relação a é:
Em seguida, a derivada da função interna em relação a é:
(Lembre-se que a derivada de é .)

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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Derive as funções dadas: