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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O conteúdo que vamos usar aqui é derivação de funções compostas, ou seja, como encontrar a derivada de funções que estão dentro umas das outras. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas das funções compostas. Aqui, temos três funções aninhadas:
  1. – dentro da raiz quadrada.
  2. – raiz quadrada de .
  3. – seno de .
  4. – cosseno de .
Vamos derivar cada uma dessas camadas passo a passo.

Passo 3

Primeiro, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 6

Finalmente, derivamos em relação a :

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar . Multiplicamos todas as derivadas que encontramos:
Substituindo as derivadas:

Passo 8

Simplificamos a expressão:
Os 2 e se cancelam:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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