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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que a função está composta. Vamos também lembrar como derivar a função secante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos uma função secante que está aplicada a uma fração: , onde . Para derivar em relação a , vamos precisar usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 3

Vamos derivar a parte externa da função, que é . A derivada de em relação a é . Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos derivar a parte interna em relação a . Podemos reescrever como . Usando a regra do poder, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas que encontramos:

Passo 6

Substituímos de volta pela expressão original :

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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Mostre que .