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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é a função . Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos precisar entender a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Aqui, temos uma função seno que recebe como argumento . Então, podemos pensar na função externa como e na função interna como .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a .
Matematicamente, isso fica:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de em relação a é :
Em seguida, calculamos a derivada de em relação a . Podemos reescrever como e derivar:

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas encontradas na regra da cadeia:

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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