y = cos(sen(3 x))

Passo 1

Então, temos a função . Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente para encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é fundamental quando lidamos com funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas. Na expressão , temos uma função cosseno externa e uma função seno interna que está multiplicada por .

Passo 3

A regra da cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas. Ela diz que a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
Matematicamente, se temos , então a derivada é:

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
  • Função externa:
  • Função interna:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas dessas funções.

Passo 5

Derivando a função externa :
Derivando a função interna :
Aqui, também usamos a regra da cadeia, já que temos .
  • Função interna de :
  • Derivada de :
Então, a derivada de é:

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada de :
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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