, para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
.
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato:
Onde
e
.
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante, que é
.
Passo 3
Calculando o fator integrante:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando a fórmula de integração para
, que é:
Aqui,
e
, então:
Passo 7
Voltando à equação principal:
Agora, dividimos tudo por
para isolar
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Determine a distância entre os números dados:
e
Calcule as expressões a seguir: