y' + 1/2 y = 2 cos t, para y(0) = -1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial .
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato:
Onde e .
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante, que é .

Passo 3

Calculando o fator integrante:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:

Passo 6

Vamos resolver a integral usando a fórmula de integração para , que é:
Aqui, e , então:

Passo 7

Voltando à equação principal:
Agora, dividimos tudo por para isolar :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule as expressões a seguir: -1 - |2 - |-3| |
y' + (1/4) y = 3 + 2 cos(2t), para y(0) = 0.
y^2(1-x^2) dy = arcsen(x) dx, para y(0) = 1.