Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O conteúdo que vamos usar aqui é derivação de funções compostas, ou seja, a regra da cadeia. Para encontrar a derivada dessa função em relação a
, vamos precisar aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas da função composta que temos. A função
é a tangente de outra função, que por sua vez é o seno de uma expressão quadrática. Ou seja:
- A camada mais interna é
. - Depois, temos .
- E, por fim,
.
Para encontrar
, vamos derivar cada camada multiplicadamente, usando a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar derivando a camada mais interna:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, derivamos a função do meio:
A derivada de
em relação a
é:
Mas como
depende de
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Por fim, derivamos a camada externa:
A derivada de
em relação a
é:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Resposta
Substituindo de volta, lembrando que e
, temos: