Condução de Calor Multidimensional
Produzido por Giovanna RonzéTeoria
Introdução
Quando estamos analisando a condução de calor, temos, basicamente, dois objetivos:
- Determinar a distribuição de temperaturas;
- Determinar o fluxo térmico.
Ao olharmos pra uma situação desse tipo:
Onde , é de boa saber que o calor é transferido da esquerda para a direita. Além disso, com um pouco mais de informação, podemos determinar, inclusive a forma como o calor está distribuído.
No que estamos interessados agora é em situações com essa cara aqui:
Onde, novamente, . Repare que, agora, somo somente uma superfície possui temperatura maior que as outras, o calor não vai ser mais transferido unidimensionalmente.
E agora, José?!
Pra entender como faremos pra sair dessa roubada, vamos olhar para a equação de calor, dada por:
Vamos fazer aqui as seguintes considerações:
- Condução bidimensional (em e );
- Regime estacionário ();
- Não há geração de energia ();
- Condutividade térmica constante.
Aplicando essas simplificações, teremos o seguinte:
Pra facilitar a análise, vamos definir uma temperatura adimensional, dada por:
Assim, para e para . Assim, a equação de calor fica resumida a:
Onde as condições de contorno são definidas por:
“Beleza, mas como resolvemos essa equação diferencial?!”
Nesse tipo de casos, é válido usarmos um método chamado método da separação de variáveis. A ideia dele é basicamente a seguinte: vamos dizer que a função é, na verdade, o produto de duas funções independentes e . Dessa forma:
Substituindo essa expressão na nossa equação de calor e arrumando a casa, encontraremos isso:
Pra conseguirmos resolver esses caras separadamente, vamos igualar os dois lados da expressão a uma constante de separação . Assim, teremos:
Opa! Essas são equações que sabemos resolver! :D Essas lindezas possuem as seguintes soluções:
Assim, o nosso é dado por:
Pra determinar as constantes , e basta aplicar as condições de contorno.
Aplicando as condições de contorno.
Para cada condição, teremos os seguintes resultados:
- .
- .
- :
Onde Assim:
Substituindo isso tudo na expressão de , teremos:
Ainda podemos usar a notação de Euler para os termos exponenciais:
Combinando as constantes e e admitindo que elas possam depender de , podemos escrever a temperatura adimensional como sendo:
Na real a constante é dada por:
“Show de bola, mas então a temperatura fica em função de ?”
Na verdade, a temperatura será dada pela seguinte forma:
Tá, pode ser que você esteja mais ou menos assim agora:
Mas CALMA, podemos partir direto dessa série pra resolver a maior parte dos problemas. Vamos ver isso nos exercícios?