Uma melancia inicialmente a 35   ° C deve ser resfriada em um lago a 15   ° C . Após 4   h o r a s e 40   m i n u t o s de resfriamento, a temperatura no centro da melancia é medida a 20   ° C . Considerando a melancia como uma esfera de 20   c m de diâmetro e utilizando as propriedades k = 0,618   W / ( m . K ) , α = 1,6 . 10 - 6   m 2 / s , ρ = 995   k g / m 3 e c P = 4,18   k J / ( k g . K ) , determine o coeficiente médio de transferência de calor e a temperatura da superfície da melancia no final do período de resfriamento.

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil, confio em vocês! A primeira coisa que a gente tem que fazer é assumir hipóteses. Nessa questão, temos como assumir que:

  • A melancia é um objeto esférico homogêneo.
  • A condução de calor na melancia é unidimensional por causa da simetria sobre o ponto médio que fica no centro.
  • As propriedades térmicas da melancia são constantes. Isso quer dizer que os valores de k = 0,618   W / ( m . K ) , α = 1,6 . 10 - 6   m 2 / s , ρ = 995   k g / m 3 e c P = 4,18   k J / ( k g . K ) , são constantes.
  • O coeficiente médio de transferência de calor h é constante e uniforme em toda a superfície.

Passo 2

Ufa, quantas hipóteses! Agora vamos para a análise do problema, galera! A gente pode notar que essa questão possui duas partes, sendo elas:

  1. Determinar o coeficiente médio de transferência de calor h ;
  2. Determinar a temperatura da superfície da melancia no final do período de resfriamento.

Agora que sabemos com clareza o que nos foi pedido, vamos partir para os cálculos!

Passo 3

Vamos começar resolvendo pela parte 1 da questão! Precisamos saber se o número de Fourier τ > 0,2 . Por quê? Pois se o valor atender essa condição, a aproximação de termo único para condução transiente de calor é aplicável para a melancia! Portanto, para uma esfera, o número de Fourier é dado por:

τ =   α . t r 0 2

Do enunciado, temos que a difusividade térmica é α = 1,6 . 10 - 6   m 2 / s , o período de tempo é t = 4   h o r a s   e   40   m i n u t o s = 280   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 16800   s e o raio da melancia é r 0 = D 2 = 20   c m 2 = 10   c m . 1   m 100   c m = 0,1   m . Portanto:

τ =   α . t r 0 2 =   1,6 . 10 - 6   .   16800 0,1 2

τ = 0,252

Como τ = 0,252   > 0,2 a aproximação de termo único para condução transiente de calor é aplicável para a melancia!

Passo 4

A aproximação de termo único para uma esfera é expressa analiticamente como:

θ E s f e r a r ,   t = T r ,   t -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ . s e n ⁡ λ 1 . r r 0 λ 1 . r r 0

Minha nossa, apareceram mais duas variáveis! O que eu faço agora?! Não se desespere, as constantes A 1 e λ 1 são funções somente do número de Biot e seus valores estão listados na tabela 4-2. Portanto, basta calcularmos o número de Biot para a esfera!

B i = h . r 0 k = h . 0,1 0,618

Poxa vida, não consigo calcular o número de Biot porque preciso o coeficiente médio de transferência de calor h ... Como vou resolver agora?

Passo 5

Vamos analisar com calma! Sabemos que r = 0 e que após t = 16800   s de resfriamento, a temperatura no centro da melancia é T r ,   t =   T 0 ,   16800 = 20   ° C . Sabemos também que T ∞ = 15   ° C e que T i = 35   ° C . Assim, a aproximação de termo único se torna:

θ E s f e r a r ,   t = T r ,   t -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ . s e n ⁡ λ 1 . r r 0 λ 1 . r r 0

No centro da esfera, podemos fazer a aproximação de que s e n ⁡ λ 1 . r r 0 λ 1 . r r 0 = 1 . Logo:

θ E s f e r a 0 ,   16800 = T 0 ,   16800 -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ

Portanto,

20 -   15 35 - 15 = A 1 . e - λ 1 2 . 0,252

0,25 = A 1 . e - λ 1 2 . 0,252

E agora? Só nos resta fazer tentativa e erro! Da tabela 4-2 para esfera temos que para satisfazer essa equação valor do número de Biot deve ser B i = 10 ! Para essa condição os valores das constantes são A 1 = 1,9249 e λ 1 = 2,8363 .

Passo 6

Agora que sabemos o número de Biot, podemos determinar o coeficiente médio de transferência de calor h ! Retomando a equação de antes:

B i = h . r 0 k = h . 0,1 0,618

h = 0,618 . 10 0,1

h = 61,8   W / ( m 2 . ° C )

Finalmente conseguimos a primeira resposta, galera! Mandaram muito bem!

Passo 7

Agora vamos para a letra (b) da questão! Vem comigo que falta pouco! A temperatura na superfície da melancia no final do período de resfriamento nada mais é que a temperatura em r = r 0 ! Agora ficou fácil né, pessoal?! Portanto:

θ E s f e r a r ,   t = T r ,   t -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ . s e n ⁡ λ 1 . r r 0 λ 1 . r r 0

θ E s f e r a r 0 ,   16800 = T r 0 ,   16800 -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ . s e n ⁡ λ 1 . r 0 r 0 λ 1 . r 0 r 0

Portanto,

T r 0 ,   16800 -   15 35 - 15 = 1,9249 . e - 2,8363 2 . τ . s e n ⁡ 2,8363 2,8363

Não se esqueçam que o valor de s e n ⁡ 2,8363 está sendo dado em r a d ! Portanto:

T r 0 ,   16800 = 15,5   ° C

Resposta

Após todos esses passos, temos que o coeficiente médio de transferência de calor é h = 61,8   W / ( m 2 . ° C ) e que a temperatura da superfície da melancia no final do período de resfriamento é T r 0 ,   16800 = 15,5   ° C .

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