Teoria

E aí? Belezinha? Lembra desse nome análise dimensional? Sabe quando a gente vê a unidade de todos os termos das nossas equações… Então, quando a gente torna algum termo adimensional é como se a gente tirasse aquela unidade… estranho?

Vamos de exemplo que dá aquela facilitada no entendimento! Sabe o número de fourier? Então ele pode é um parâmetro adimensional, ou seja, não tem unidade! Mas olha só como vemos isso:

F o = α ⋅ t R 2

Pra achar ele precisamos da difusividade térmica ( α ), m²/s, do tempo, s, e do comprimento onde ocorre a difusão, m. Colocando nossas unidades na equação vemos que elas vão se cortar e por conta disso o número de Fourier é adimensional!

F o = α   m ² / s   ⋅   t   s R 2   m 2

Viu só? Show de bolinhas!

Análise dimensional de transferência de massa convectiva

Se a gente considerar a transferência de massa da parede de um tubo para o fluido escoando através do conduíte, podemos fazer a seguinte análise, vem comigo!

Vamos fazer uma tabela com as variáveis que usamos, nessas condições, o símbolo delas e a unidade de cada uma, olha só:

Muito termos! Mas relaxa que vamos conseguir adimensionalizar essa galera, sabe como? Usando matriz! Pra começar a gente vê que existem fatores comuns, olha só, basicamente para representar a unidade de todo mundo levamos em consideração a massa, litro e tempo, certo?

Essas vão ser as linhas da nossa matriz! E as colunas serão nossos símbolos… Vamos colocar o número de vezes que cada um aparece no meio da nossa matriz. Olha só como vai ficar:

Agora que montamos a nossa matriz vamos fazer algumas análises simples. Qual é o rank da nossa matriz, ou seja, o número de linhas não nulas dela, temos que:

rank = 3

Agora, temos um total de variáveis = 6 , então podemos descobrir quantos grupos adimensionais temos:

i = t o t a l   d e   v a r i á v e i s - r a n k

i = 6 - 3

i = 3

Beleza pura! Temos então 3 grupos adimensionais! E sendo D A B , ρ e D variáveis centrais, pois nelas estão todas as nossas dimensões básicas, vamos ter:

π 1 = D A B   a ⋅ ρ   b ⋅ D   c ⋅ k c π 2 = D A B   d ⋅ ρ   e ⋅ D   f ⋅ ϑ π 3 = D A B   g ⋅ ρ   h ⋅ D   i ⋅ μ

Agora escrevendo π 1 na forma adimensional, vamos ter:

1 = L 2 t a M L b L c L t

E isso nos dá:

L : 0 = 2 a - 3 b + c + 1

t :   0 =   - a - 1

M :   0 = b

Pela equação do t , já sabemos que a =   - 1 , e pela equação do M , sabemos que b = 0 , sendo assim, substituindo na equação de L , temos:

0 = 2 ⋅ - 1 - 3 ⋅ 0 + c + 1

c = 1

Agora descobrimos que para adimensionalizar π 1 , precisamos de:

π 1 = k c ⋅ D D A B

E esse termo em transferência de massa é conhecido como número de Nusselt (Nu) ou número de Sherwood (Sh).

Agora fazendo esse mesmo procedimento para o π 2 , temos:

1 = L 2 t d M L e L f L t

E isso nos diz:

L : 0 = 2 d - 3 e + f + 1

t :   0 =   - d - 1

M :   0 = e

Vamos ficar então com:

π 2 = ϑ ⋅ D D A B

E para π 3 , teremos:

π 3 = μ ρ ⋅ D A B

Opa! Em transferência de massa, esse termo é o número de Schmidt (Sc). E fazendo uma relação entre o π 2   e o π 3 , encontramos:

π 2 π 3 = D ⋅ ϑ ⋅ ρ μ

E esse aí é o número de Reynolds (Re)! Sendo assim, nossa relação de adimensionalização é dada por:

S h = N u A B = f R e ,   S c

Análise dimensional de correntes de convecção natural

Quando temos uma parede plana vertical com um fluido adjacente, temos esse caso de uma convecção natural, vamos fazer a mesma análise de antes, ok?

Montando a matriz vamos ficar com:

Mais uma vez, nosso rank = 3 e nosso total de variáveis = 6 , então temos:

i = t o t a l   d e   v a r i á v e i s - r a n k

i = 6 - 3

i = 3

Temos 3 grupos adimensionais de novo! E sendo D A B , L e μ as nossas variáveis centrais, vamos ficar com:

π 1 = D A B   a ⋅ L   b ⋅ μ   c ⋅ k c π 2 = D A B   d ⋅ L   e ⋅ μ   f ⋅ ρ π 3 = D A B   g ⋅ L   h ⋅ μ   i ⋅ g Δ ρ a

Fazendo a adimensionalização de cada um, vamos ficar com:

π 1 = k c ⋅ L D A B π 2 = ρ   ⋅   D A B μ π 3 = L 3   ⋅   g Δ ρ a μ   ⋅   D A B

O π 1 nos dá o número de Nusselt (Nu), o π 2 nos dá o inverso do número de Schmidt (Sc), agora vamos achar uma relação entre o π 3 e o π 2 :

π 2 ⋅ π 3 = ρ   ⋅   D A B μ ⋅ L 3   ⋅   g Δ ρ a μ   ⋅   D A B

π 2 ⋅ π 3 = L 3   ⋅   g Δ ρ a ρ   ⋅   v 2 = G r A B

Opa! Essa relação nos deu o número de Grashof!

Então nós temos que para uma convecção natural nossa relação de adimensionalização é dada por:

S h = f G r A B ,   S c

E aí curtiu? Parece complexo, mas depois a gente pega o jeito, né? Então agora partiu fazer uns exercícios e ficar tudinho!

Análise dimensional de correntes de convecção natural

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