24 - Um longo cabo de transmissão de potência está enterrado a uma profundidade (distância do nível do solo ao eixo central do cabo) de 2   m . O cabo encontra-se encapsulado no interior de um tubo de parede delgada com diâmetro igual a 0,1   m . Para fazer com que o cabo opere com propriedades de um supercondutor (essencialmente dissipação térmica nula), o espaço entre o cabo e o tubo é preenchido com nitrogênio líquido a 77   K . Estando o tubo coberto com um superisolante ( k i =   0,005   W / ( m   ·   K ) ) com 0,05   m de espessura e a superfície do solo ( k s =   1,2   W / ( m · K ) ) a 300   K , qual é a carga de resfriamento, em W / m , que deve ser mantida pelo refrigerante criogênico por unidade de comprimento do tubo?

Passo 1

Precisamos calcular a resistência térmica do isolamento, pois mais a frente iremos precisar da resistência total do sistema.

R i s o ' = ln ⁡ D o D i 2 π k i s o

Aqui,  D o é o diâmetro externo do tubo,  D i é o diâmetro interno do tubo,  k i s o é a condutividade térmica do isolamento.

Obs.: Vale lembrar que o diâmetro externo é dado por = 0,1 m + ( 0,05 ×   2 )   =   0,2   m .

Portanto, temos:

R i s o ' = ln ⁡ 0,2 0,1 2 π × 0,005

= 22,07   m ⋅ K / W

Passo 2

Agora para calcular a resistência térmica do solo, temos:

R s o l o ' = k s o l o 2 π ln ⁡ 4 z D o - 1

Aqui  k s o l o é a condutividade térmica do solo,  z  é a distância da superfície da Terra ao centro da tubulação.

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

= 1,2 × 2 π ln ⁡ 4 × 2 0,2 - 1

= 0,489   m ⋅ K / W

Passo 3

Agora podemos calcular a carga de resfriamento que deve ser mantida pelo refrigerador por unidade de comprimento do tubo.

q ' = T 1 - T 2 R t o t a l '

= T 1 - T 2 R i s o ' + R s o l o '

= 300 - 77 0,489 + 22,07  

= 9,9   W / m

Portanto, a carga de refrigeração que deve ser mantida pelo refrigerador é  9,9   W / m .

Resposta

9,9   W / m

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