Enunciado

58 – Um pistão sem atrito de diâmetro Dp = 50 mm, espessura δ = 10 mm, e densidade ρ = 8000 kg/m3 é colocado em um cilindro vertical de comprimento total L = 100 mm. O cilindro é perfurado em um material de baixa condutividade térmica, e uma massa de ar Mar = 75x10-6 kg é anexado no volume abaixo do cilindro. A vizinhança está a Tviz = 300 K enquanto que a superfície do fundo do cilindro é mantida a T1. A emissividade de todas as superfícies é ε = 0,3.

Qual é a distância entre o fundo do pistão e o fundo do cilindro, Lb, para T1 = 300, 450 e 600 K? Qual é a temperatura do pistão? Dica: Negligencie a taxa de transferência de calor por convecção e assume que a temperatura média do ar é Tar = (Tp + T1)/2.

Passo 1

A ideia aqui neste exercício é trabalhar com as equações de balanço de energia e balanço de forças, assim também como equações associadas a lei dos gases ideais.

Então, para acharmos o que foi pedido, vamos primeiramente fazer uma modelagem matemáticas das equações que serão utilizadas para este fim.

Passo 2

Considerando o ar como um gás ideal, podemos usar a equação de Clapeyron, que é eq. dos gases ideais:

P a r V a r = n a r R T a r

Onde,

-Par é a pressão do ar no cilindro;

-Var é o volume do ar dentro do cilindro;

-nar é o nº de mols do ar;

-R é a constante dos gases ideais, R = 8,314 kJ/kmol.K;

-Tar é a temperatura do ar.

Lembrando que o nº de mols pode ser relacionado com a massa da seguinte forma

n a r = M a r M M a r

Onde, MMar é a massa molar do ar

M M a r = 28,7 k g k m o l

Assim,

P a r V a r = M a r M M a r R T a r

Pela informação do enunciado

T a r = T p + T 1 2

Onde, Tp é a temperatura do pistão

Passo 3

Para encontrarmos a pressão do ar, Par, podemos fazer um balanço de forças sobre o ar, que neste caso a pressão absoluta do ar pode ser determinada pela soma entre a força peso que o pistão exerce sobre o ar com a pressão atmosférica exercida sobre o pistão, assim

P a r = F p A p + P a t m

Onde,

-Ap e Fp são, respectivamente, a área de seção transversal do pistão e a força peso do pistão.

A p = π 4 D p 2

F p = m p g

Onde, mp é a massa do pistão e g a constante de gravidade

g = 9,81 m s 2

m p = ρ p V p = ρ p π 4 D p 2 δ

Assim,

F p = m p g

F p = ρ p π 4 D p 2 δ g

Substituindo essas relações no balanço de força:

P a r = ρ p π 4 D p 2 δ g π 4 D p 2 + P a t m

P a r = ρ p δ g + P a t m

Passo 4

Para o volume do ar, Var, que é o volume do ar dentro do cilindro, compreendido entre o fundo do cilindro e o fundo pistão, assim o volume será dado pela seguinte expressão

V a r = π 4 D p 2 L b

Sendo que Lb é justamente a distância entre o fundo cilindro e o fundo do pistão que precisamos encontrar. Assim, isolando Lb

L b = 4 V a r π D p 2

Sendo que pela eq. dos gases ideais o Var é:

P a r V a r = M a r M M a r R T a r

V a r = M a r R T a r M M a r P a r

Assim,

L b = 4 π D p 2 M a r R T a r M M a r P a r

P a r = ρ p δ g + P a t m

P a r = 8000 k g m 3 0,01 m 9,81 m s 2 + ( 101325   P a )

P a r = 102110   P a

T a r = T p + T 1 2

Passo 5

Vamos precisar determinar a temperatura do pistão, Tp, para encontrarmos a temperatura do ar. Para isso, podemos encontrar fazendo um balanço de energia.

Vamos agora fazer um balanço de energia. Um balanço de energia que pode ser feito é uma transferência de calor associada ao invólucro formado entre o fundo do cilindro e o fundo do pistão, que será, pela eq. 13.30 do Incropera:

q b = E b 1 - E b p 1 - ε ε A + 1 A F 1 p + 1 A F 1 R b + 1 A F p R b - 1 + 1 - ε ε A

Analogamente, para um balanço de energia no topo do pistão e a vizinhança:

q t = E b p - E b V i z 1 - ε ε A + 1 A F p V + 1 A F p R t + 1 A F V p - 1 + 1 - ε ε A

Um balanço de energia global, vai resultar em

q b = q t

Onde,

A = A p = π 4 D p 2 = π 4 0,05 m 2 = 0,002 m 2

Passo 6

Os parâmetros Ebi’s são as potências de emissão associadas a cada superfície, considerando superfícies negras, assim

E b 1 = σ T 1 4 ;   E b p = σ T p 4 ; E b v i z = σ T v i z 4

Onde, σ é a constante de Stefan-Boltzmann

σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4

Assim,

σ T 1 4 - σ T p 4 1 - ε ε A + 1 A F 1 p + 1 A F 1 R b + 1 A F p R b - 1 + 1 - ε ε A = σ T p 4 - σ T v i z 4 1 - ε ε A + 1 A F p V + 1 A F p R t + 1 A F V p - 1 + 1 - ε ε A

Vamos tentar isolar Tp:

σ T 1 4 - σ T p 4 = k ( σ T p 4 - σ T v i z 4 )

Onde,

k = 1 - ε ε A + 1 A F 1 p + 1 A F 1 R b + 1 A F p R b - 1 + 1 - ε ε A 1 - ε ε A + 1 A F p V + 1 A F p R t + 1 A F V p - 1 + 1 - ε ε A

Isolando Tp

σ ( k T p 4 + T p 4 ) = σ ( T 1 4 + k T v i z 4 )

( k + 1 ) T p 4 = T 1 4 + k T v i z 4

T p 4 = T 1 4 + k T v i z 4 k + 1

T p = T 1 4 + k T v i z 4 k + 1 0,25

Passo 7

O parâmetro k depende dos parâmetros F são os fatores de forma.

As eq’s para os fatores de forma são encontrados na Tabela 13.2, considerando discos paralelos coaxiais. Assim, as eq’s para os fatores de forma são:

F 1 p = 0,5 ( S b - S b 2 - 4 0,5 )

F p V = 0,5 ( S t - S t 2 - 4 0,5 )

F V p = F p V

F 1 R b = 1 - F 1 p

F p R b = F 1 R b

S b = 1 + 1 + D p 2 / 4 L b 2 D p 2 / 4 L b 2

S t = 1 + 1 + D p 2 / 4 L t 2 D p 2 / 4 L t 2

Onde,

L t = L - L b - δ

Passo 8

Assim, como temos que os fatores de forma dependem de Lb, e Lb dependem de de Tp, assim teremos que realizar um método iterativo para calcular a temperatura do pistão.

O algoritmo (passo a passo) que você pode seguir para solucionar este problema por um método iterativo é o seguinte:

  • Chute inicial para Tp (Tp0)
  • Calcula Tar
  • T a r = T p + T 1 2

  • Calcula Lb
  • L b = 4 π D p 2 M a r R T a r M M a r P a r

    L b = 0,000108 T a r

  • Calcula Lt
  • L t = L - L b - δ

    L t = 0,09 - L b

  • Calcula os fatores de forma
  • S b = 1 + 1 + 0,000625 / L b 2 0,000625 / L b 2

    S t = 1 + 1 + 0,000625 / L t 2 0,000625 / L t 2

    F 1 p = 0,5 ( S b - S b 2 - 4 0,5 )

    F p V = 0,5 ( S t - S t 2 - 4 0,5 )

    F V p = F p V

    F p R t = 1 - F p V

    F 1 R b = 1 - F 1 p

    F p R b = F 1 R b

  • Calcula o parâmetro k
  • k = 2376,7 + 1 0,002 F 1 p + 1 0,002 F 1 R b + 1 0,002 F p R b - 1 2376,7 + 1 0,002 F p V + 1 0,002 F p R t + 1 0,002 F V p - 1

  • Calcula Tp
  • T p = T 1 4 + k 300 4 k + 1 0,25

  • Calcular erro percentual
  • e r r o % = 100 T p - T p 0 T p 0

  • Se o erro for muito pequeno, finalizar iteração, caso contrário, fazer Tp0 = Tp e recomeçar iteração. Realizar iterações até que o erro seja muito pequeno, por volta de 10-5, por exemplo.

Passo 9

Resolvendo pelo EXCEL:

-Para T1 = 300 K:

T p = 300   K

L b = 0,0325   m = 32,5   m m

-Para T1 = 450 K:

T p = 385   K

L b = 0,04 5   m = 4 5   m m

-Para T1 = 600 K:

T p = 49 3   K

L b = 0,0 59   m = 59   m m

Resposta

-Para T1 = 300 K:

T p = 300   K

L b = 0,0325   m = 32,5   m m

-Para T1 = 450 K:

T p = 385   K

L b = 0,045   m = 45   m m

-Para T1 = 600 K:

T p = 493   K

L b = 0,059   m = 59   m m

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