48 – Um longo condute é construído com paredes amplas cinzas e difusivas de 0,5 m. O topo e o fundo do condute está isolado. As emissividades das paredes são ε1 = 0,45, ε2 = 0,65 e ε3 = 0,15, respectivamente, enquanto que as temperaturas das paredes 1 e 2 são 500 K e 700 K, respectivamente.

A) Determine a temperatura da parede isolada.

B) Determine a taxa de transferência de calor liquida por radiação da superfície 2 por unidade de comprimento do condute.

Passo 1

Para este problema vamos considerar que temos três placas paralelas, a parede 1 paralela à parede 3, e a parede 3, paralela à parede 2.

Com isso, vamos usar as equações para o fluxo de calor associado a essas características.

Passo 2

O fluxo de calor para duas placas planas paralelas pode ser calculado pela Eq. 13.24, que é:

q = σ ( T 3 4 - T 1 4 ) 1 ε 1 + 1 ε 3 - 1

Esse é o fluxo de calor envolvendo as paredes 1 e 3.

Onde, σ é a constante de Stefan-Boltzmann:

σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4

Para as paredes 2 e 3 temos que:

q = σ ( T 2 4 - T 3 4 ) 1 ε 2 + 1 ε 3 - 1

Passo 3

Considerando fluxo de calor constante pelo condute, assim vamos ter que:

σ ( T 3 4 - T 1 4 ) 1 ε 1 + 1 ε 3 - 1 = σ ( T 2 4 - T 3 4 ) 1 ε 2 + 1 ε 3 - 1

T 3 4 - T 1 4 1 ε 1 + 1 ε 3 - 1 = T 2 4 - T 3 4 1 ε 2 + 1 ε 3 - 1

Vamos tentar isolar T3:

T 3 4 - T 1 4 = 1 ε 1 + 1 ε 3 - 1 1 ε 2 + 1 ε 3 - 1 T 2 4 - T 3 4

Fazendo

c = 1 ε 1 + 1 ε 3 - 1 1 ε 2 + 1 ε 3 - 1

T 3 4 - T 1 4 = c T 2 4 - T 3 4

c T 3 4 - T 3 4 = c T 2 4 - T 1 4

T 3 4 c + 1 = c T 2 4 + T 1 4

T 3 4 = c T 2 4 + T 1 4 c + 1 - 1

T 3 = c T 2 4 + T 1 4 c + 1 - 1 0,25

Passo 4

Aplicando os valores

c = 1 0,45 + 1 0,15 - 1 1 0,65 + 1 0,15 - 1 = 1,1

T 3 = 1,1 700 K 4 + 500 K 4 1,1 + 1 - 1 0,25

T 3 = 627,4   K

Passo 5

B)

Para a superfície 2 temos que:

q = σ ( T 2 4 - T 3 4 ) 1 ε 2 + 1 ε 3 - 1

Em termos de taxa por unidade comprimento:

q ' = σ W ( T 2 4 - T 3 4 ) 1 ε 2 + 1 ε 3 - 1

Aplicando os valores:

q ' = 5,67 x 10 - 8 W m 2 K 4 0,5 m 700 4 - 627,4 4 K 4 1 0,65 + 1 0,15 - 1

q ' = 335 W m 2

Resposta

A)

T 3 = 627,4   K

B)

q ' = 335 W m 2

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