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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 32

32 – A eq. 1.7 é subjetiva a diversas restrições, tal como a vizinhança sendo isotérmica e grande em relação a superfície menores. Considere uma superfície pequena e grande de esferas concêntricas de raio r1 e r2, respectivamente.

A) Calcule a razão de raios, r2/r1 para o qual a Eq. 1.7 tem uma taxa de transferência de calor por radiação que representa 1 % da taxa dada pela Eq. 13.26 para os seguintes casos. As superfícies opacas são difusivas e cinza.

-Caso 1:

ε 1 = 0,9 ;   ε 2 = 0,9

-Caso 2:

ε 1 = 0,9 ;   ε 2 = 0,1

-Caso 3:

ε 1 = 0,1 ;   ε 2 = 0,9

-Caso 4:

ε 1 = 0,1 ;   ε 2 = 0,1

Passo 1

Vamos primeiramente pegar as expressões que foram citadas no enunciado, expressões estas que vamos utilizar aqui nesta resolução

Pela Eq. 1.7:

q = ε 1 σ ( T 1 4 - T 2 4 )

Pela Eq. 13.26:

q = σ ( T 1 4 - T 2 4 ) 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 r 2 r 1 2

Passo 2

Como foi dito que a taxa da eq. 1.7 representa 1 % da taxa da eq. 13.26, assim:

0,01 ε 1 σ T 1 4 - T 2 4 = σ T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 r 1 r 2 2

Que podemos escrever como:

0,01 ε 1 = 1 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 r 2 r 1 2

Isolando o termo da razão dos raios r2/r1:

1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 r 2 r 1 2 0,01 ε 1 = 1

1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 r 2 r 1 2 = 1 0,01 ε 1

r 2 r 1 2 = 1 0,01 ε 1 - 1 ε 1 ε 2 1 - ε 2

r 2 r 1 = 1 0,01 ε 1 - 1 ε 1 ε 2 1 - ε 2 1 2

Passo 3

Aplicando os valores para cada caso:

-Caso 1:

r 2 r 1 = 1 0,01 ( 0,9 ) - 1 0,9 0,9 1 - 0,9 1 2

r 2 r 1 = 31,5

Caso 2:

r 2 r 1 = 0,01 0,01 ( 0,9 ) - 1 0,9 0,1 1 - 0,1 1 2

r 2 r 1 = 3,5

Caso 3:

r 2 r 1 = 0,01 0,01 ( 0,1 ) - 1 0,1 0,9 1 - 0,9 1 2

r 2 r 1 = 94,4

Caso 4:

r 2 r 1 = 0,01 0,01 ( 0,1 ) - 1 0,1 0,1 1 - 0,1 1 2

r 2 r 1 = 10,5

Resposta

Caso 1:

r 2 r 1 = 31,5

Caso 2:

r 2 r 1 = 3,5

Caso 3:

r 2 r 1 = 94,4

Caso 4:

r 2 r 1 = 10,5

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