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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 72

72 - Em um processo de extrusão, um fio de cobre emerge do extrusor a uma velocidade v e e é resfriado pela transferência de calor por convecção para o ar em escoamento cruzado sobre o fio, assim como por radiação para a vizinhança.

(a) Aplicando a conservação de energia em uma superfície de controle diferencial de comprimento d x , que se move com o fio ou é estacionária e através da qual o fio passa, deduza uma equação diferencial que governe a distribuição de temperaturas, T ( x ) , ao longo do fio. Na sua dedução, o efeito da condução axial ao longo do fio pode ser desprezado. Escreva o seu resultado em termos da velocidade, do diâmetro e das propriedades do fio ( V e ,   D ,   r ,   c p ,   ε ) , do coeficiente convectivo h associado ao escoamento cruzado e das temperaturas ambientes ( T ∞ ,   T v i z ) .

(b) Desprezando a radiação, obtenha uma solução em forma fechada paraa equação anterior. Para V e = 0,2   m / s , D = 5   m m , V = 5   m / s , T ∞ = 25 ℃ e uma temperatura do fio inicial de T i = 600 ℃ , calcule a temperatura T o do fio em x = L = 5   m . A massa específica e o calor específico do cobre são ρ = 8900   k g / m 3 e c p =   400   J / ( k g · K ) , enquanto as propriedades do ar podem ser consideradas iguais a k = 0,037   W / ( m · K ) , v = 3   ×   10 - 5   m 2 / s e P r = 0,69 .

(c) Levando em conta os efeitos da radiação, com ε   =   0,55 e T v i z = 25   ℃ , integre numericamente a equação diferencial deduzida na parte (a) e determine a temperatura do fio em L = 5   m . Estude os efeitos de V e e de ε na distribuição de temperaturas ao longo do fio.

Passo 1

Vamos aplicar a conservação de energia a uma estação em qualquer superfície de controle diferencial pela qual a folha passe.

E d e n t r o - E f o r a = 0

m ˙ c p T - m ˙ c p T + d T - d q c o n v - d q r a d = 0

ρ V f A c c p T - ρ V f A c c p T + d T - d q c o n v - d q r a d = 0

- ρ V A c c p d T - d q c o n v - d q r a d = 0

Aqui, m ˙ é a taxa de fluxo de massa,  ρ é a densidade de cobre, v é a velocidade, A c é a área da secção transversal, d q é a taxa de transferência de calor diferencial, T é a temperatura,  A é a área elementar,  T a m b é a temperatura ambiente,  T ∞ é a temperatura do ar,  ε é a emissividade e  σ é a constante Boltzmann de Stefan.

Logo, temos que:

- ρ V π 4 D 2 c p d T - h A T - T ∞ - A ε σ ( T 4 - T a m b 4 ) = 0

- ρ V π 4 D 2 c p d T - A h T - T ∞ - ε σ T 4 - T a m b 4 = 0

- ρ V π 4 D 2 c p d T - π D d x h T - T ∞ - ε σ T 4 - T a m b 4 = 0

d T d x = - 4 ρ V f D c p h T - T ∞ + ε σ T 4 - T a m b 4 … .   ( 1 )

Aqui d T / d x é o gradiente de temperatura.

Portanto, a expressão em termos de velocidade, diâmetro e propriedades do fio ( V e ,   D ,   r ,   c p ,   ε ) , o coeficiente de convecção e as temperaturas do ambiente é:

d T d x = - 4 ρ V f D c p h T - T ∞ + ε σ T 4 - T a m b 4

Passo 2

b)

Conforme a radiação fornecida é negligenciada, da equação (1) os termos referentes a radiação podem ser negligenciados. Dessa forma, temos a seguinte equação:

d T d x = - 4 ρ V f D c p h T - T ∞

d T = - 4 h T - T ∞ ρ V f D c p d x

d T T - T ∞ = - 4 h ρ V f D c p d x

Integrando a equação anterior, aplicando os limites à equação anterior, obtém-se a seguinte relação.

∫ r i r d T T - T ∞ = ∫ 0 x - 4 h ρ V f D c p

ln ⁡ T - T ∞ r i r = - 4 h x ρ V f D c p

ln ⁡ T - T ∞ - ln ⁡ T i - T ∞ = - 4 h x ρ V f D c p

ln ⁡ T - T ∞ T i - T ∞ = - 4 h x ρ V f D c p

Aqui  T i é a temperatura inicial do fio.

A equação anterior pode ser escrita da seguinte maneira:

T - T ∞ T i - T ∞ = exp ⁡ - 4 h x ρ V f D c p

T x = T ∞ + T i - T ∞ exp ⁡ - 4 h x ρ V f D c p … . .   ( 2 )

Passo 3

Agora vamos comigo, calcular o número de Reynolds.

R e D = V D v

= 5 × 5 × 10 - 3 3 × 10 - 5

= 833,33

Passo 4

Agora, com o número de Reynolds, vamos calcular o número de nusselt por meio da equação 7.54 .

N u = 0,3 + 0,62 R e 0,5 Pr ⁡   1 3   1 + 0,4 P r 2 3 1 / 4 1 + R e D 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 0,62 ( 833,33 ) 0,5 ( 0,69 ) ⁡   1 3   1 + 0,4 0,69 2 3 1 / 4 1 + 833,33 282000 5 8 4 / 5

= 0,3 + 15,81 1,141 × ( 1,021 )

= 14,4

Passo 5

O coeficiente convectivo de transferência de calor do ar é determinado a partir da equação dada por:

N u = h D k

Reescreva para achar h :

h = N u × k D

= 14,4 × 0,037 5 × 10 - 3

= 106,56   W m 2 ⋅ K

Passo 6

Temos T L = T 0

À distância  L = 5   m , a temperatura do fio de cobre é igual a  T 0 .

Voltando na equação ( 2 ) e substituindo pelos valores conhecidos, temos:

T x = T ∞ + T i - T ∞ exp ⁡ - 4 h x ρ V f D c p

T L = T ∞ + T i - T ∞ exp ⁡ - 4 h L ρ V f D c p

T L = 25 + 600 - 25 exp ⁡ - 4 × 106,56 × 5 8900 × 0,2 × 5 × 10 - 3 × 400

T 0 = 25 + 575 exp ⁡ ( - 0,6 )

T 0 = 341   ℃

Portanto, a temperatura do fio em x = L = 5 m é 341   ℃

Resposta

d T d x = - 4 ρ V f D c p h T - T ∞ - ε σ T 4 - T a m b 4

  1. T 0 = 341   ℃
  2. Requer ferramenta gráfica
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