Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 80
80 – A bela expressão para a sustentação de um aerofólio bidimensional, eq. 8.72, surge da aplicação da transformação de Joukowski,
Em que,
A constante a é uma escala de comprimento. A teoria transforma um certo círculo no plano z em um aerofólio no plano ζ. Fazendo a = 1 por conveniência, mostre que (a) um círculo com centro na origem e raio>1 se torna uma elipse no plano ζ e (b) um círculo com centro
E, raio (1+є) se torna um formato de aerofólio no plano ζ.
Sugestão: a planilha Excel é excelente para resolver este problema.
Passo 1
Vamos começar introduzindo a expressão de z dentro da transformação de Joukowski para encontrar as partes real e imaginaria da equação:
Sendo
Substituindo
Passo 2
Para eliminarmos a parte imaginaria do dividendo no segundo termo depois da igualdade da Eq.1, vamos fazer o seguinte:
Assim,
Vamos resolver a seguinte relação:
Lembrando que o número imaginário i é dado por:
Assim,
Substituindo na Eq2:
Passo 3
Vamos agora separar as partes real e imaginaria da equação anterior:
Assim,
Colocando em evidência os termos de x e iy:
Passo 4
Sendo que a transformação de Joukowski é também escrita como:
Assim, em comparação com a Eq3 vamos chegar que:
Parte Real:
Parte Imaginária:
Vamos relembrar que para um círculo, a sua equação é dada por:
Assim,
Passo 5
Vamos agora ao plote dos gráficos pelo EXCEL:
O gráfico obtido é:
A)
Círculo e elipse:
B)
Círculo e aerofólio:
Resposta
A)
Círculo e elipse:
B)
Círculo e aerofólio:
