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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 13

13 – Um pequeno tanque de peixes é aproximado por um formato de semicorpo, como mostra a Fig. 8.13. O ponto O, a 0,5 m de distância da borda esquerda do tanque, é uma fonte de água descarregando aproximadamente 0,35 m3/s por metro de profundidade normal ao papel. Encontre o ponto B ao longo do eixo no qual a velocidade da água é aproximadamente 25 cm/s.

Passo 1

Vamos pegar a equação que descreve o comportamento do escoamento da água descarregando no tanque com o formato da figura 8.13.

Como se trata de um semicorpo, então podemos usar a equação 8.20, cuja expressão é:

V 2 = U 2 1 + a 2 r 2 + 2 a r cos ⁡ θ

Onde, a é a distancie da borda do tanque e θ é o ângulo entre o ponto O e o ponto B.

a = 0,5   m

θ = 0 °

Passo 2

Vamos tentar isolar r, que é a distância entre o ponto O e o ponto B, que queremos encontrar

V 2 = U 2 1 + a 2 r 2 + 2 a r cos ⁡ θ

V 2 U 2 = 1 + a 2 r 2 + 2 a r cos ⁡ θ

1 r a 2 r + 2 a cos ⁡ θ = V 2 U 2 - 1

Ou,

a 2 + 2 a r cos ⁡ θ r 2 = V 2 U 2 - 1

a 2 + 2 a r cos ⁡ θ = V 2 U 2 - 1 r 2

V 2 U 2 - 1 r 2 - 2 a cos ⁡ θ r - a 2 = 0           E q 1

Passo 3

A velocidade U, você pode ser encontrar usando a informação da vazão.

Como foi dito que a vazão é a vazão volumétrica por profundidade normal, assim podemos determinar a velocidade U pela seguinte expressão:

U = Q π a

Onde, Q é a vazão que é

Q = 0,35 m 3 s m

Assim,

U = 0,35 m 3 s . m π 0,5   m = 0,22 m s = 22 c m s

Passo 4

Voltando na Eq.1

V 2 U 2 - 1 r 2 - 2 a cos ⁡ θ r - a 2 = 0

Aplicando os valores já conhecidos:

25 2 22 2 - 1 r 2 - 2 ( 0,5 ) cos ⁡ ( 0 ) r - ( 0,5 ) 2 = 0

0 , 26 r 2 - r - 0,25 = 0           E q 2

Passo 5

Resolvendo a equação do segundo dada pela Eq2:

Usando Bhaskara:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

O único valor possível para r é um valor positivo, então:

r = - b + b 2 - 4 a c 2 a

Atribuindo os valores das constates da Eq2:

r = - - 1 + - 1 2 - 4 0,26 - 0,25 2 0,26

r = 4,1   m

Então o ponto B está a cerca de 4,1 m do ponto O.

Resposta

Ponto B:

r = 4,1   m

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