Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 10.Problemas de Projeto - Ex. 2
PP10.2 – A barragem Caroselli no Rio Pawcatuck tem 3 m de altura, 27,4 m de largura e a borda aguda. A companhia Coakey usa essa altura para gerar potência hidrelétrica e quer mais potência. Eles solicitaram permissão ao município para elevar a barragem. Acima da barragem, o rio pode ser aproximado como retangular, de 27,4 m de largura com declividade a montante de 2,27 m por quilômetro e com um leito pedregoso. A vazão média é de 11,33 m3/s, com uma vazão de cheia prevista a cada 30 anos de 34 m3/s. As margens do rio são íngremes até 1,6 km a montante, onde existem moradias na parte baixa. O conselho municipal concorda com a elevação da barragem, desde que o novo nível do rio, perto dessas casas, durante a cheia de 30 anos, não ultrapasse em 0,91 m o nível atual durante as condições de vazão média. Você, como engenheiro de projetos, deve prever quanto a crista da barragem pode ser elevada e ainda satisfazer esse requisito.
Passo 1
Vamos considerar a barragem com sendo um tipo de vertedouro, então poderemos trabalhar com as equações associadas a vertedouros para avaliarmos os cálculos do projeto dessa nova barragem. Vamos então calcular o nível atual do rio para a vazão média e com esse valor vamos determinar em seguida qual dever ser o valor máximo da crista que pode ser implementada para satisfazer a especificação.
Passo 2
Vamos relembrar que a Eq. de projeto de um vertedouro é dado pela eq. 10.55 do White, cuja expressão é:
Onde, CD é o coeficiente de descarga do vertedouro e este coeficiente é dado por:
Onde, para ser válido a equação da vazão, deve-se seguir a seguinte relação:
Sendo,
Substituindo na Eq1:
Isolando um dos termos de H:
Passo 3
Aplicando os valores:
Resolvendo por iterações, com chute inicial de H0 = 1 m:
Após duas iterações:
Sendo que a profundidade do rio logo a montante da barragem é definida por:
Assim,
Passo 4
Vamos agora calcular a profundidade do rio para a vazão média, usando a eq. 10.51 do White, que é:
Onde,
Para a declividade S que é de 2,27 m por quilômetro, assim
Assim, substituindo as relações
Aplicando os valores já conhecidos:
Passo 5
Vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Runge-Kutta, resolvendo utilizando o EXCEL.
Pelo método de Runge-Kutta:
Onde, h é o passo que seria para este caso:
Onde,
Vamos selecionar um passo de 100 m.
As funções k são
Sendo a função f definida pela equação diferencial
Para a condição inicial temos que:
A solução será, para x = 1,6 km a montante da barragem:
Assim, o valor limite para a profundidade é:
Passo 6
Precisamos agora achar o novo valor de y0 que é o valor da profundidade logo a montante da barragem. Usando o mesmo método de Runge-Kutta, mas agora de trás para frente, vamos obter que
Portanto, usando a relação entre os parâmetros da barragem
Portanto a barragem pode ser elevada em
Resposta
A barragem pode ser elevada em